Question

Mostre que os pontos a (6,-13) b (-2,2) c (13,10) e (21,-5) são  vértices consecutivos de um quadrado. 

Answer 1

Podemos demonstrar isso calculando a distância entre estes quatro pontos, além de mostrar que as retas que passam por dois pontos não consecutivos (que são as retas suporte das diagonais) são perpendiculares entre si.
Vamos ao cálculo da distância entre os pontos:
$\boxed{d^2=(-2-6)^2+(2+13)^2=(-8)^2+15^2=64+225=289} \\ \\ \boxed{d^2=(13+2)^2+(10-2)^2=15^2+8^2=225+64=289 } \\ \\ \boxed{d^2=(21-13)^2+(-5-10)^2=8^2+(-15)^2=64+225=289 } \\ \\ \boxed{d^2=(21-6)^2+(-5+13)^2=15^2+8^2=225+64=289}$

Agora vamos escrever as equações das retas suportes das diagonais:

Equação da reta r

|   x     y   1  |
|  6   -13  1  | = 0
| 13   10  1 |              -13x + 13y + 60 +169  - 6y  - 10x = 0
                                  -23x  + 7y + 229 = 0

                                   mr=23/7

Equação da reta s:


|  x   y    1 | 
|  -2  2   1 | = 0
| 21 -5   1 |              2x + 21y  +10 - 42 + 2y + 5x = 0
                               7x  + 23y -32 =0

                               ms = -7/23

Fazendo mr . ms = 23/7 .(-7/23) = -1   Condição de perpendicularidade verificada

Espero ter ajudado.