Question

Mostre que os pontos A(1,0,1), B(0,1,−1) e C(3,4,2) são vértices de um triângulo retângulo.
PS: se puder colocar o gráfico junto com a conta, please

Answer 1

Portanto os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo.

Determine as distâncias entre os pontos no espaço e aplique o teorema de Pitágoras.

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• Para determinar se o triângulo é retângulo determine as distâncias entre os pontos, aplique o teorema de Pitágoras e verifique se é obtido uma expressão numérica verdadeira.

• A distância entre dois pontos A e B é obtida por:

$\large d_{AB}^2 = (x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2 + (z_{B} - z_{A})^2$

• Determine o quadrado das distâncias entre os pontos.

$\large d_{AB}^2 = (0 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (-1 - 1)^2 \\ \\\large d_{AB}^2 = 1 + 1 + 4 \\ \\\large d_{AB}^2 = 6$

$\large d_{BC}^2 = (3-0)^2 + (4-1)^2 + (2 - (-1) \ )^2 \\\\\large d_{BC}^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2 \\\\\large d_{BC}^2 = 9 + 9 + 9 \\\\\large d_{BC}^2 = 27$

$\large d_{CA}^2 = (3-1)^2 + (4-0)^2 + (2 - 1)^2 \\\\\large d_{CA}^2 = 2^2 + 4^2 + 1^2 \\\\\large d_{CA}^2 = 4 + 16 + 1 \\\\\large d_{CA}^2 = 21$

• Aplique o teorema de Pitágoras, sendo a hipotenusa a medida maior.

$\large d_{BC}^2 = d_{AB}^2 + d_{CA}^2$

27 = 6 + 21

27 = 27 ⟹ Igualdade verdadeira.

Portanto os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo.

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