Question

Mostre que os números 49, 4489, 444889, 44448889, ..., obtidos colocando-se 48 no meio do número anterior, são quadrados de números inteiros.

Answer 1

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Mostrar que os números da sequência

     (49, 4489, 444889, 44448889, ...)

são todos quadrados perfeitos.

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Podemos escrever o  n-ésimo  termo desta sequência como sendo

     $\mathsf{\displaystyle a_n=9+(80+800+\ldots+ 8\cdot 10^{n-1})+(4\cdot 10^n+\ldots+4\cdot 10^{2n-1})}\\\\ \mathsf{\displaystyle a_n=9+(80+800+\ldots+ 8\cdot 10^{n-1})+(4\cdot 10^n+\ldots+4\cdot 10^{2n-1})}\\\\ \mathsf{\displaystyle a_n=9+\sum_{k=1}^{n-1}8\cdot 10^k+\sum_n^{2n-1}4\cdot 10^k}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle a_n=9+8\cdot \sum_{k=1}^{n-1}10^k+4\cdot \sum_n^{2n-1}10^k}$


Os dois somatórios da fórmula acima representam somas de progressões geométricas de razão  q = 10.  Usando a fórmula da soma dos termos da P.G., podemos representá-los na forma fechada:

     $\mathsf{a_n=9+8\cdot \dfrac{10^k}{10-1}\bigg|_{k=1}^{k=(n-1)+1}+4\cdot \dfrac{10^k}{10-1}\bigg|_{k=n}^{k=(2n-1)+1}}\\\\\\ \mathsf{a_n=9+8\cdot \dfrac{10^k}{9}\bigg|_{k=1}^{k=n}+4\cdot \dfrac{10^k}{9}\bigg|_{k=n}^{k=2n}}\\\\\\ \mathsf{a_n=9+8\cdot \dfrac{10^n-10^1}{9}+4\cdot \dfrac{10^{2n}-10^n}{9}}\\\\\\ \mathsf{a_n=9+\dfrac{8}{9}\cdot 10^n-\dfrac{80}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot 10^{2n}-\dfrac{4}{9}\cdot 10^n}\\\\\\ \mathsf{a_n=9-\dfrac{80}{9}+\left(\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}\right)\cdot 10^n+\dfrac{4}{9}\cdot 10^{2n}}$

     $\mathsf{a_n=\dfrac{81}{9}-\dfrac{80}{9}+\left(\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}\right)\cdot 10^n+\dfrac{4}{9}\cdot 10^{2n}}\\\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot 10^n+\dfrac{4}{9}\cdot 10^{2n}}\\\\\\ \mathsf{a_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\!\!2}+2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 10^n+\left(\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{a_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\!\!2}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 10^n+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 10^n+\left(\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)^{\!\!2}}$


Coloque  $\mathsf{\dfrac{1}{3}}$  em evidência nos dois primeiros termos, e  $\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot 10^n}$  em evidência nos dois últimos:

     $\mathsf{a_n=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)}$


Agora, coloque o fator comum  $\mathsf{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n}$  em evidência:

     $\mathsf{a_n=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)\cdot \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)}\\\\\\ \mathsf{a_n=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot 10^n\right)^{\!\!2}}$

     $\mathsf{a_n=\left(\dfrac{1+2\cdot 10^n}{3}\right)^{\!\! 2}}$    <———    lei de formação da sequência dada

com  n = 1, 2, 3, ...


Observe que a expressão  $\mathsf{1+2\cdot 10^n},$  que aparece ali no numerador, descreve a sequência

    (21, 201, 2001, 20001, ...)

e todos estes números são divisíveis por  3.


Dessa forma, a expressão entre parênteses é sempre um número natural:

     $\mathsf{\dfrac{1+2\cdot 10^n}{3}\in\mathbb{N}}$


Então,

     $\mathsf{a_n=\left(\dfrac{1+2\cdot 10^n}{3}\right)^{\!\! 2}}$

representa de fato uma sequência, na qual todos os termos são quadrados de um número natural, como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Olá Ludeen.


Primeiro vamos começar observando o comportamento das raízes dos termos dessa sequência.

$\mathsf{a_1=\sqrt{49}=7}\\\mathsf{a_2=\sqrt{4~489}=67}\\\mathsf{a_3=\sqrt{444~889}=667}\\\mathsf{a_4=\sqrt{44~448~889}=6667}$

Aparentemente a lei de formação dessa sequência é dada pelo quadrado do 7 seguido de (n - 1) algarismos 6.

Encontrando sua fórmula fechada:

$\mathsf{a_n=\underbrace{\mathsf{66....6}}+7}\\\mathsf{\qquad~~ _{(n-1)}~_{vezes}}\\\\\mathsf{a_n=(6\cdot10+6\cdot10^2+6\cdot10^3+...+6\cdot10^{n-2})+7}\\\mathsf{a_n=6\cdot(10+10^2+10^3+...+10^{n-2})+7}$

Acima temos a soma de uma P.G de razão 10.

$\mathsf{a_n=6\cdot\Big[\dfrac{10\cdot(10^{n-1}-1)}{10-1}\Big]+7}\\\\\mathsf{a_n=\diagup\!\!\!\!6\cdot\Big[\dfrac{10^n-10}{\diagup\!\!\!\!9}\Big]+7}\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{2\cdot10^n-20}{3}+\dfrac{21}{3}}\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{2\cdot10^n-1}{3}}$

Elevando a fórmula fechada encontra das prováveis raízes da sequência ao quadrado, tentarei provar por P.I.F que essa fórmula expressa sua lei de formação.

Como sabemos que é a partir do primeiro termo 49, é adicionado um 4 e um 8, podemos expressar isso da seguinte forma.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{4444......44}}\underbrace{\mathsf{888..,88}}9}\\\mathsf{~~~~~_{(n)}_{~vezes}\quad _{(n-1)~vezes}}$

Como já existe um 4, a cada termo terá um 4 a mais que 8.

Irei então usar a representação decimal para expressar o n-ésimo termo.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{4444...4}}\cdot10^n+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9}\\\mathsf{\quad ~_n\qquad~\quad\qquad^_{(n-1)}}$

Pra saber qual a potência de 10 você deverá multiplicar um número em uma representação decimal, basta contar quantos algarismos o antecede. Como temos (n - 1) oitos e um 9, no total temos n algarismos.

Então por hipótese temos:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{4444...4}}\cdot10^n+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9=\Big(\dfrac{2\cdot10^n+1}{3}\Big)^2}\\\mathsf{\quad ~_n\qquad~\quad\quad~_{(n-1)}}$

Verificando se ela é valida para n = 1.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{4444...4}}\cdot10^1+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9=\Big(\dfrac{2\cdot10^1+1}{3}\Big)^2}\\\mathsf{\quad ~_1\qquad~\quad~\quad~_{(1-1)}}\\\\\mathsf{4\cdot10+9=\Big(\dfrac{20+1}{3}\Big)^2}\\\\\mathsf{49=\Big(\dfrac{21}{3}\Big)^2}\\\\\mathsf{49=7^2}\\\\\mathsf{49=49~\checkmark}$

Assumindo por H.I.P que serve para n = k.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{4444...4}}\cdot10^k+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9=\Big(\dfrac{2\cdot10^k+1}{3}\Big)^2}\\\mathsf{\quad ~_k\qquad~\quad\qquad^_{(k-1)}}$

Com isso queremos provar que é valido para k + 1. Para isso irei adicionar um quatro nó ultimo algarismo 4 onde resultará em um 8, e depois adicionar mais dois 4 na frente do primeiro 4.

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{444...4}}\cdot10^k+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9+(44\cdot10^{2n}+4\cdot10^n)^}}\\\mathsf{~~~~_k~~~\qquad~\quad~_{(k-1)}}\\\\=\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{444...4}}\cdot10^{k+1}+\underbrace{\mathsf{888...8}}\cdot10+9={\Big(\dfrac{2\cdot10^k+1}{3}\Big)^2+(44\cdot10^{2n}+4\cdot10^n)}}\\\mathsf{~~_{(k+1)}\qquad\qquad ~_{k}}\\\\=$

$\maathsf{\mathsf{\dfrac{4\cdot10^{2k}+4\cdot10^k+1}{9}+44\cdot10^{2k}+4\cdot10^k}}\\\\\\\mathsf{4\cdot10^k\Big(\dfrac{10^k+1}{9}+11\cdot10^k+1\Big)+\dfrac{1}{9}}\\\\\\\mathsf{4\cdot10^k\Big(\dfrac{10^k+1+99\cdot10^k+9}{9}\Big)+\dfrac{1}{9}}\\\\\\\mathsf{4\cdot10^k\Big(\dfrac{100\cdot10^k+10}{9}\Big)+\dfrac{1}{9}}\\\\\\\mathsf{4\cdot10^k\Big[\dfrac{10\cdot(10^{k+1}+1)}9}}\Big]+\dfrac{1}{9}}\\\\\\\mathsf{4\cdot10^{k+1}\Big(\dfrac{10^{k+1}+1}{9}\Big)+\dfrac{1}{9}}$

$\mathsf{\dfrac{4\cdot(10^{k+1})^2+4\cdot10^{k+1}}{9}+\dfrac{1}{9}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(2\cdot10^{k+1})^2+2\cdot2\cdot10^{k+1}+1}{9}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(2\cdot10^{k+1}+1)^2}{3^2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\Big(\dfrac{2\cdot10^{k+1}+1}{3}\Big)^2}}~\checkmark$


Após concluirmos nossa hipótese e tese (chamado passo indutivo), provamos que a fórmula representa a lei de formação da sequência dada.


Dúvidas? comente.