Question

Mostre que o subconjunto abaixo é um subespaço:

a) S = { ( x,2x ) x ∈ R } é um subespaço do R2.

Answer 1

a) $S=\{(x,\,2x):~x\in\mathbb{R}\}$

Os vetores de S são da forma

$\mathbf{u}=(x,\,2x)\\\\ \mathbf{u}=x\cdot (1,\,2)$

$x\in\mathbb{R}.$


• Verificando se o vetor nulo está em $S:$

Para $x=0,$ obtemos o vetor

$\mathbf{u}=0\cdot (1,\,2)\\\\ \mathbf{u}=(0,\,0)\in S~~~~~~(\checkmark)$


• Dados dois vetores $\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in S$

$\mathbf{u}=(u_1,\,u_2)=(u_1,\,2u_1)\\\\ \mathbf{v}=(v_1,\,2v_1)\\\\\\ \mathbf{u}+\mathbf{v}\\\\ =(u_1,\,2u_1)+(v_1,\,2v_1)\\\\ =(u_1+v_1,\,2u_1+2v_1)\\\\ =\big(u_1+v_1,\,2(u_1+v_1)\big)\\\\ =(w_1,\,2w_1)\in S~~~~~~(\checkmark)$


• Dado um escalar $\alpha$ e um vetor $\mathbf{u}$ de $S,$

$\alpha\mathbf{u}\\\\ =\alpha(u_1,\,2u_1)\\\\ =(\alpha u_1,\,\alpha\cdot 2u_1)\\\\ =\big(\alpha u_1,\,2(\alpha u_1)\big)\\\\ =(v_1,\,2v_1)\in S~~~~~~(\checkmark)$


$S$ é subespaço de $\mathbb{R}^2.$


Bons estudos! :-)