Question

Mostre que o quadrado de um número primo p, maior que 3, deixa resto 1 na divisão por 24.


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Provar que

24 | p² − 1

qualquer que seja p primo, p > 3.

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Teorema 1: Se p é primo, p > 3, então existe algum n natural, tal que

p = 4n + 1 ou p = 4n + 3.

Prova: Basta considerarmos um sistema completo de restos na divisão de p por 4.

p é primo, p > 3
⇒ p é natural, p > 3
⇒ existe n natural tal que

p ∈ {4n + 1, 4n + 2, 4n + 3}

• p não pode ser 4n + 2, pois este é par, maior que 3.

Logo, para algum n natural,

p ∈ {4n + 1, 4n + 3}

onde p é primo, p > 3.

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Teorema 2: Se p é primo, p > 5, então existe algum m natural, tal que

p = 6m + 1 ou p = 6m + 5.

Prova: De forma análoga, considerando um sistema completo de restos na divisão de p por 6,

p é primo, p > 5
⇒ p é natural, p > 5
⇒ existe m natural tal que

p ∈ {6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4, 6m + 5}

• p não pode ser 6m + 2, pois este é par, maior que 5;
• p não pode ser 6m + 3, pois este é divisível por 3, maior que 5;
• p não pode ser 6m + 4, pois este é par, maior que 5.

Logo, para algum m natural,

p ∈ {6m + 1, 6m + 5}

onde p é primo, p > 5.

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Teorema 3: Se

a | c, b | c e mdc(a, b) = 1,

então ab | c.

Este não será provado aqui, embora não seja difícil a demonstração.

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Usando o Teorema 1, façamos a análise de casos:

• Caso I: p é na forma 4n + 1.

Então,

p² − 1
= (p − 1) · (p + 1)
= 4n · (4n + 2)
= 4n · 2(2n + 1)
= 8 · n(2n + 1)

⇒ 8 | p² − 1 (i).

• Caso II: p é na forma 4n + 3.

Então,

p² − 1
= (p − 1) · (p + 1)
= (4n + 2) · (4n + 4)
= 2(2n + 1) · 4(n + 1)
= 8 · (2n + 1)(n + 1)

⇒ 8 | p² − 1 (ii).

Portanto, por (i) e (ii), fica demonstrado que

8 | p² − 1

qualquer que seja p primo, p > 3 (iii).

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Antes de aplicar o Teorema 2, verifiquemos o caso particular em que p = 5:

p² − 1
= 5² − 1
= 25 − 1
= 24
= 3 · 8

⇒ 3 | p² − 1

para p = 5 (iv).

Usando o Teorema 2, façamos a análise de casos para p > 5.

• Caso I: p é na forma 6m + 1.

Então,

p² − 1
= (p − 1) · (p + 1)
= 6m · (6m + 2)
= 3m · 2 · 2(3m + 1)
= 3 · 4m(3m + 1)

⇒ 3 | p² − 1 (v).

• Caso II: p é na forma 6m + 5.

Então,

p² − 1
= (p − 1) · (p + 1)
= (6m + 4) · (6m + 6)
= 2(3m + 2) · 6(m + 1)
= 2(3m + 2) · 3 · 2(m + 1)
= 3 · 4(3m + 2)(m + 1)

⇒ 3 | p² − 1 (vi).

Portanto, por (iv), (v) e (vi), fica demonstrado que

3 | p² − 1

qualquer que seja p primo, p > 3 (vii).

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Temos o seguinte:

Para todo p primo, p > 3,

• 8 | p² − 1 (iii)
• 3 | p² − 1 (vii)

e como mdc(8, 3) = 1, usando o Teorema 3, concluímos que

8 · 3 | p² − 1
24 | p² − 1

qualquer que seja p primo, p > 3

como queríamos demonstrar.

Bons estudos! :-)