Question

Mostre que o produto de quatro inteiros

consecutivos sempre é um múltiplo de 24.​

Answer 1

A fim de provar que o produto P de quaisquer quatro inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de 24 = 4! (fatorial de quatro), vamos inicialmente separar o problema em casos, visto que a demonstração englobará todo o conjunto dos números inteiros. Destarte, consideraremos todas as três seguintes possibilidades:

➯ Os quatro números são inteiros positivos

Neste caso, os números serão representados por

$\begin{cases}\sf x_{1}=k\\ \sf x_{2}=k+1\\ \sf x_{3}=k+2\\ \sf x_{4}=k+3\end{cases}$

, sendo k um inteiro positivo. Por conseguinte, o produto P destes números será:

$\sf \qquad\ \ \:\,\:\! \:\! P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\\\\ {\!\!\!\iff\ \ \ P=x_{4}\cdot x_{3}\cdot x_{2}\cdot x_{1}}\\\\ {\!\!\implies\ \ \ \,P=(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k}$

Agora, vamos "ajeitar" a expressão P:

$\sf\qquad\quad \ \:\! P=(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k\\\\\\\ \iff\ \ \ P=(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k\cdot 1}\\\\\\ \iff\ \ \ P=(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k\cdot \dfrac{(k-1)!}{(k-1)!}\\\\\\ \iff\ \ \ P=\dfrac{(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k\cdot (k-1)!}{(k-1)!}$

Relembrando que (k + 3)(k + 2)(k + 1)k(k – 1)! = (k + 3)!, temos:

$\qquad\quad\ \sf \:\!P=\dfrac{(k+3)!}{(k-1)!}\\\\\\ \iff\ \ \ P=1\cdot \dfrac{(k+3)!}{(k-1)!}\\\\\\ \iff\ \ \ P=\dfrac{4!}{4!}\cdot \dfrac{(k+3)!}{(k-1)!}\\\\\\ \iff\ \ \ P=4!\cdot \dfrac{(k+3)!}{4!(k-1)!}\\\\\\ \iff\ \ \ P=4!\cdot \dfrac{(k+4-1)!}{4!(k-1)!}\qquad (\:i\:)$

Note que o multiplicador situado no lado direito da igualdade ( i ) é um quociente de fatoriais bem conhecido, ou seja, ele é nada mais nada menos que a expressão resultante de um coeficiente binomial — também chamado número binomial. À vista disso, é verdade que:

$\sf \dfrac{(k+4-1)!}{4!(k-1)!}=\dbinom{k+4-1}{4}=\dbinom{k+3}{4}\qquad (\:ii\:)$

Por último, substituindo ( ii ) em ( i ), ficaremos com:

$\large\boxed{\sf P=4!\cdot \dbinom{k+3}{4}}$    

, ou ainda

$\large\boxed{\sf P=24\cdot \dbinom{k+3}{4}}$

➯ Os quatro números são inteiros negativos

Neste caso, os números serão representados por

$\begin{cases}\sf x_{1}=-k=(-1)\cdot k\\ \sf x_{2}=-(k+1)=(-1)\cdot (k+1)\\ \sf x_{3}=-(k+2)=(-1)\cdot (k+2)\\ \sf x_{4}=-(k+3)=(-1)\cdot (k+3)\end{cases}$

, sendo k um inteiro positivo. Dessa forma, o produto P destes números será igual a:

$\sf \qquad\ \ \:\,\:\! \:\! P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\\\\ {\!\!\!\iff\ \ \ P=x_{4}\cdot x_{3}\cdot x_{2}\cdot x_{1}}\\\\ {\sf \!\!\implies\ \ \ \, P=(-1)\cdot(k+3)\cdot(-1)\cdot(k+2)\cdot(-1)\cdot(k+1)\cdot(-1)\cdot k}\\\\ {\sf \!\!\!\iff\ \ \ \,P=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k}\\\\ {\sf \!\!\!\iff\ \ \ \,P=(-1)^4\cdot (k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k}\\\\ {\sf \!\!\!\iff\ \ \ \,P=(k+3)\cdot (k+2)\cdot (k+1)\cdot k}$

Como vemos, recaímos no primeiro caso, e por isso podemos escrever:

$\large\boxed{\sf P=24\cdot \dbinom{k+3}{4}}$

➯ Um deles é igual a zero

Se um dentre os quatro inteiros sucessivos for nulo, isto é, igual a 0 (zero), seu produto P também vai ser nulo, já que qualquer valor inteiro multiplicado por 0 tem como resultado o próprio 0. Portanto, para este caso, segue o valor de P:

$\large\boxed{\sf P=24\cdot 0}$

Com base no que foi exposto acima (junção dos três casos), provamos que o produto de quatro inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de 24.

1.ª Obs.: o produto de quaisquer n ≥ 2 inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de n! (fatorial de n). Para mais esclarecimentos acerca disso, sugiro que dê uma olhada no link: brainly.com.br/tarefa/29804759.

2.ª Obs.: Segue em anexo uma possível explicação referente ao fato dos números binomiais terem como resultado um natural positivo.

54e81e60ebaa0e3743ab5710fad81636.pdf