Matemática, perguntado por Ronielly5859, 11 meses atrás

Mostre que o ponto (2, 4) está na curva x 3 + y 3 − 9xy = 0. Em seguida, determine a tangente e a normal à curva nesse ponto.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto "P(2, 4)", de fato, pertence à curva "x³ + y³ - 9xy = 0" (fólio de Descartes) e tanto a reta tangente, quanto a reta normal à referida curva pelo ponto "P", são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = \frac{4x}{5} + \frac{12}{5}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: y = -\frac{5x}{4} + \frac{16}{4}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f: x^{3} + y^{3} - 9xy = 0\\P(2, 4)\\t: \:?\\n: \:?\end{cases}$

Observe que toda curva representada pela equação...

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Ax^{3} + By^{3} - Cxy = 0,\:\:A\neq0,\:B\neq0\end{gathered}$}$

...é denominada de:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} F\acute{o}lio\:de\:Descartes\end{gathered}$}$

Dessa forma, também podemos reescrever a equação desta curva como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f: x^{3} + y^{3} = 9xy\end{gathered}$}$

Para verificar se o ponto "P" pertence ao referido fólio de Descartes, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação dada e verificar se - ao final das simplificações - ambos os membros são iguais. Caso positivo, o ponto P pertence à curva. Caso contrário, não pertence à curva. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}2^{3} + 4^{3} & = 9\cdot2\cdot4\\8 + 64 & = 72\\72 & = 72\end{aligned} $}$

Como ambos os membros finais da equação são iguais, então o ponto "P" pertence à curva, isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(2, 4) \in f\end{gathered}$}$

Para calcular a reta tangente à curva no ponto "P(2, 4)", devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", também conhecida como "equação fundamenta da reta", que pode ser representada por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Sabendo que "mt" é numericamente igual à derivada implícita em relação a "x" da curva no ponto "P", isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf II}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:m_{t} = y'(P) = y'(2, 4)\end{gathered}$}$

Podemos reescrever a equação "I" como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf III}\:\:\:\:\:\:\:y - y_{P} = y'(P)\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Então, devemos inicialmente calcular a derivada implícita mais geral da curva. Porém, antes, devemos nos relembrar das seguintes regras de derivações:

Derivada da potência:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = x^{n} \Longrightarrow y' = n\cdot x^{n - 1},\:\:\forall n\neq-1\end{gathered}$}$

Derivada da soma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = u + v \Longrightarrow y' = u' + v'\end{gathered}$}$

Derivada do produto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = u\cdot v \Longrightarrow y' = u'\cdot v +u\cdot v'\end{gathered}$}$

Derivada da constante.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:y = c \Longrightarrow y' = 0,\:\:\forall c\in\mathbb{R}\end{gathered}$}$

Calculando a derivada implícita mais geral em relação a "x" do referido fólio de Descartes:

$\Large \text {$\begin{aligned}(x^{3} + y^{3})' & = (9xy)'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 9\cdot 1\cdot y + 9x\cdot1\,y'\\3x^{2} + 3y^{2}\,y' & = 9y + 9x\,y'\\3y^{2}\,y' - 9x\,y' & = 9y - 3x^{2}\\(3y^{2} - 9x)\,y' & = 9y - 3x^{2}\\y' & = \frac{9y - 3x^{2}}{3y^{2} - 9x}\\y' & = \frac{{\!\diagup\!\!\!\!3}\cdot(3y - x^{2})}{{\!\diagup\!\!\!\!3}\cdot(y^{2} - 3x)}\\y' & = \frac{3y - x^{2}}{y^{2} - 3x}\end{aligned} $}$

Portanto, a derivada implícita mais geral é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y' = \frac{3y - x^{2}}{y^{2} - 3x}\end{gathered}$}$

Aplicando a derivada implícita ao ponto "P", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y' (2,4) = \frac{3\cdot4 - (2^{2})}{4^{2} - 3\cdot2} = \frac{12 - 4}{16 - 6} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\end{gathered}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y'(P) = y'(2, 4) = \frac{4}{5}\end{gathered}$}$

Agora, devemos substituir tanto as coordenadas do ponto "P" quanto a derivada implícita da função no ponto "P", na equação "III". Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}y - 4 & = \frac{4}{5}\cdot(x - 2)\\y - 4 & = \frac{4x}{5} - \frac{8}{5}\\y & = \frac{4x}{5} - \frac{8}{5} + 4\\y & = \frac{4x - 8 + 20}{5}\\y & = \frac{4x + 12}{5}\\y & = \frac{4x}{5} + \frac{12}{5}\end{aligned} $}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes pelo ponto "P" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = \frac{4x}{5} + \frac{12}{5}\end{gathered}$}$

Como a reta tangente "t" é perpendicular à reta normal "n", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:t \perp n \Longrightarrow m_{t}\cdot m_{n} = -1 \Longrightarrow m_{n} = -\frac{1}{m_{t}}\end{gathered}$}$

Desta forma, a equação da reta normal "n", pode ser escrita como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf IV}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: y - y_{P} = -\frac{1}{m_{t}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Calculando o coeficiente angular da reta normal "n", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{\dfrac{4}{5}} = -1\cdot\frac{5}{4} = -\frac{5}{4}\end{gathered}$}$

Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quando o valor do coeficiente angular da reta normal "n" na equação "IV", temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}y - 4 & = -\frac{5}{4}\cdot(x - 2)\\y - 4 & = -\frac{5x}{4} + \frac{10}{4}\\y & = -\frac{5x}{4} + \frac{10}{4} + 4\\y & = \frac{-5x + 10 + 16}{4}\\y & = \frac{-5x + 16}{4}\\y & = -\frac{5x}{4} + \frac{16}{4}\end{aligned} $}$