Question

Mostre que o polinômio p(x) = x3 +x2 −5x+1 admite três raízes reais

Answer 1

O polinômio p(x) admite três raízes reais.

Derivadas

O primeiro passo é derivar esse polinômio e encontrar as raízes:

p'(x) = 3x² + 2x - 5

Δ = 2² - 4·3·(-5)

Δ = 64

x = [-2 ± √64]/2·3

x = [-2 ± 8]/6

x' = 1

x'' = -5/3

Estes são os pontos onde a derivada da função é zero, ou onde a inclinação de p(x) muda de sinal. Então existe uma raiz no intervalo [-5/3; 1]. Derivando novamente:

p''(x) = 6x + 2

Calculando p''(-5/3):

p''(-5/3) = 6·(-5/3) + 2

p''(-5/3) = -8

Como p''(-5/3) < 0, este é um ponto de máximo local, então existe uma raiz para x < -5/3.

Calculando p''(1):

p''(1) = 6·(1) + 2

p''(1) = 8

Como p''(1) > 0, este é um ponto de mínimo local, então existe uma raiz para x > 1.

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https://brainly.com.br/tarefa/38549705

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