Question

Mostre que o conjunto W={(x,y,z)|x−3z=0} é subespaço vetorial de R3.

Answer 1

Resposta:

Veja demonstração abaixo.

Explicação passo a passo:

O seguinte teorema pode ser demonstrado sobre subespaços vetoriais:

Teorema: Um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V sobre um corpo K é um subespaço vetorial de V se, e somente se, satisfaz as condições:

(i) O elemento neutro e de V está em W;

(ii) A operação de adição definida em V é fechada em W, ou seja, u+v ∊ W, ∀u,v ∊ V;  

(iii) A operação de multiplicação por escalar de V é fechada em W, ou seja, αu ∊ W, ∀ u ∊ V e ∀ α ∊ K.

Em nosso caso, temos V=$R^{3}$ que é um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais R, e W = {(x,y,z) ∊ $R^{3}$  | x-3z = 0}. Vamos utilizar o Teorema acima:

(i) O elemento neutro de $R^{3}$ é (0,0,0); este elemento está em W, pois 0-3*0 = 0.

(ii) A operação de adição em $R^{3}$ é definida como:

(a,b,c) =  (x,y,z) + (u,v,w) = (x+u, y+v, z+w)

Se os dois pontos acima estão em W, então podemos reescrever a adição como:

(a,b,c) = (3z, y, z) + (3w, v, w) = (3z+3w, y+v, z+w) = (3*(z+w), y+v, z+w)

Portanto a adição também está em W, pois a - 3*c = 3*(z+w) - 3*(z+w) = 0

(iii) A operação de multiplicação por escalar em $R^{3}$ é definida como:

(u,v,w) = k * (x,y,z) = (k*x, k*y, k*z)

Portanto se o ponto (x,y,z) acima está em W, podemos reescrever como:

(u,v,w) = k * (3z,y,z) = (3*k*z, k*y, k*z) = (3*(k*z), k*y, k*z)

Mas então (u,v,w) está em W, pois: u - 3*w = 3*(k*z) - 3*k*z = 0.

Portanto W é subespaço vetorial de $R^{3}$.