Question

Mostre que o conjunto dos vetores da forma v=(x,2x,3x) é um espaço vetorial.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para que seja espaço vetorial, o conjunto V ≠ ∅ precisa obedecer duas regras:

Soma:

Sendo v₁ e v₂ ∈ V, então

v₁ + v₂  ∈ V

Produto:

Seja α um número real qualquer e v₁  ∈  V, logo

α.v₁ ∈ V

Temos que v = (x, 2x, 3x) ∈ V, logo, tomado

v₁ = (x₁, 2x₁, 3x₁) e v₂ = (x₂, 2x₂, 3x₂), estes também pertencem a V

Temos que

v₁ + v₂ = (x₁, 2x₁, 3x₁) + (x₂, 2x₂, 3x₂) = (x₁ + x₂, 2x₁ + 2x₂, 3x₁ + 3x₂) = (x₁ + x₂, 2(x₁ + x₂), 3(x₁ + x₂)) ∈  V

Seja agora v₁ = (x₁, 2x₁, 3x₁) ∈ V e α ∈ IR, temos que

α.v₁ = α(x₁, 2x₁, 3x₁) = (ax₁, α2x₁, α3x₁) = (αx₁, 2αx₁, 3αx₁) ∈ V

Como o conjunto obedeceu as duas regras, logo o conjunto V dos vetores v = (x, 2x, 3x) é espaço vetorial