Question

Mostre que o conjunto dos números naturais N é um conjunto fechado em R. Por que não é compacto?

Answer 1

Um conjunto é fechado se todo ponto deste conjunto for ponto aderente.

Um ponto $x$ é aderente se existir uma sequência ($x_n\subset X$ tal que $lim x_n = x$

Portanto o conjunto dos naturais é fechado.

por exemplo, para $x=1$ podemos tomar a sequencia $(1,1,1,1,1,...)$. O mesmo tipo de sequencia pode ser construido para qualquer um dos demais naturais.

Entretanto os naturais não é compacto.

Chamamos de um conjunto compacto aquele conjunto que for fechado e limitado.

O conjunto do Naturais é um conjunto fechado (como já mostramos ser).

Entretano, os naturais não é limitado pois para cada $x_n$ pertencente aos naturais, podemos sempre encontrar um $x_{n+1}$ também pertencente aos naturais.