mostre que o conjunto de vetores {(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} gera o espaço vetorial R3
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Para verificar se 3 vetores geram espaço vetorial em R3 precisamos saber que o produto misto deles precisa dar 0. Vc pode associar isso com o volume de um paralelogramo, se vc coloca 3 vetores coplanares(que pertencem ao mesmo plano) o volume e 0.
O produto misto e o modulo do determinante da matriz que vc faz com os 3 vetores:
![\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26amp%3B1%26amp%3B-1%5C%5C0%26amp%3B1%26amp%3B1%5C%5C1%26amp%3B1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right]")
usando a regra de sarrus para calculo do determinante
![\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1\\0&1\\1&1\end{array}\right] 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26amp%3B1%26amp%3B-1%5C%5C0%26amp%3B1%26amp%3B1%5C%5C1%26amp%3B1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26amp%3B1%5C%5C0%26amp%3B1%5C%5C1%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+1+%2B+0+%2B+0+%2B+1+%2B+0+%2B+0+%2B+0+%3D+2 "\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1\\0&1\\1&1\end{array}\right] 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2")
como o determinante e diferente de 0 podemos dizer que os 3 vetores sao gerados em um espaco R3.
O produto misto e o modulo do determinante da matriz que vc faz com os 3 vetores:
usando a regra de sarrus para calculo do determinante
como o determinante e diferente de 0 podemos dizer que os 3 vetores sao gerados em um espaco R3.
isisilva10:
então para ser espaço vetorial em R3 o determinante precisa ser diferente de zero ?
existe outra forma de responder essa pergunta ?
Sim, no comeco eu coloquei que devia dar 0, só que ele deve ser diferente de 0
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