Question

Mostre que (n!)²-7(n!)+6=0

A resposta dá que n= 1,0,3

Answer 1

A equação se apresenta na forma de uma equação do segundo grau:
x² - 7x + 6 = 0, onde x = n!

Então, vamos achar as raízes.

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}\Rightarrow\\ \\ \\ x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{7\pm 5}{2}\\ \\ \\ x_1=\dfrac{7+5}{2}\Rightarrow x_1=6\\ \\ \\ x_2=\dfrac{7-5}{2}\Rightarrow x_2=1$


Assim, temos:

n! = 6 ⇒ n! = 3!  ⇒ n = 3 (pois 3! = 3x2x1 = 6)
n! = 1 ⇒ n! = 1!  ⇒ n = 1 (pois 1! = 1)
n! = 1 ⇒ n! = 0!  ⇒ n = 0 (pois 0! = 1)

Assim, n = 0, 1, 3