Question

Mostre que log7 é um numero irracional.

Answer 1

Como :
7 nao e uma potencia de 10 logo e um numero irracional pois tem infinitas casas decimais que nao se repetem

Answer 2

Olá!

    Seja y o valor de log7. Assim, temos 
  
    $\log7=y \Leftrightarrow \log_{10} 7=y \Leftrightarrow 10^y=7$

    Se y fosse racional, teríamos  $y=\dfrac{a}{b}$    irredutível, com  
$a,b$       números inteiros e   $b$   diferente de zero. Então,

    $10^y=7 \Rightarrow 10^{\frac{a}{b}}=7 \Rightarrow \sqrt[b]{10^a}=7$

    Observe que   $10^a$  é algum valor múltiplo de 10, isto é, é um número par. Logo, o resultado desta raiz também será um número par. Só que do outro lado da igualdade temos um número ímpar. Portanto a igualdade não vale. E não vale por termos suposto que y, isto é,   $\log7$  é racional.


   Portanto,    $\log7$  é um número irracional.


Bons estudos!