Question

Mostre que lim x² + 2x - 35 = 0
x -> 5

Answer 1

$\lim_{x \to 5} (x^2-2x-35)=0$

não lembro mt bem mas acho que era assim ...

tem que satisfazer as condições
$0\ \textless \ |x-5| \ \textless \ \delta \;\;\; \text{quando }\;\; |x^2-2x-35| \ \textless \ \epsilon$

fatorando
x²-2x-35 = (x-5)*(x+7)

$0\ \textless \ |x-5| \ \textless \ \delta \;\;\; \text{quando }\;\; |x-5|*|x+7| \ \textless \ \epsilon$

.
escolhendo uma constante positiva C que seja maior que |x+7| ....para fazer com |x+7| desapareça da igualdade...

$|x+7|\ \textless \ C\\\\\text{multiplicando por }|x-5|\\\\\boxed{|x+7|*|x-5|\ \textless  C*|x-5|}$

logo temos
$|x+7|*|x-5|\ \textless \ C*|x-5| \ \textless \ \epsilon \\\\ \text{desta forma}\\\\\boxed{\boxed{C*|x-5|\ \textless \ \epsilon \;\;\text{quando } |x-5|\ \textless \ \frac{\epsilon}{C} }}$


calculando o valor da constante C
|x+7|<C

procurando valores que estejam a 1 unidade de distancia do 5

$|x-5|\ \textless \ 1\\\\-1\ \textless \ x-5\ \textless \ 1\\\\-1+12 \ \textless \ x-5+12 \ \textless \ 1+12\\\\11 \ \textless \ x+7\ \textless \ 13\\\\11\ \textless \ |x+7|\ \textless \ 12$

então podemos escolher para a constante C=12
$\bmatrix{|x-5|\ \textless \ \frac{\epsilon}{12} \\\\ |x-5|\ \textless \ 1\end$

para que ambas igualdades sejam satisfeitas
$\delta_{min} \left(1, \frac{\epsilon}{12} \right)$