Question

mostre que existe um multiplo de 2017 que termina em 2016.

Answer 1

Mostrar que existe um múltiplo de 2017, que termina em 2016, é equivalente a mostrar que

existem x, y naturais, tais que

10000x + 2016 = 2017y (i)

que é uma equação diofantina linear a duas variáveis.

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Usaremos o algoritmo de Euclides, partindo dos números 10000 e 2017:

• 10000 e 2017:

10000 = 2017 · 4 + 1932

⇒ 1932 = 10000 − 2017 · 4
1932 = 10000 · 1 + 2017 · (− 4) (ii)

• 2017 e 1932:

2017 = 1932 · 1 + 85
2017 = [10000 · 1 + 2017 · (− 4)] · 1 + 85
2017 = 10000 · 1 + 2017 · (− 4) + 85

⇒ 85 = 2017 − [10000 · 1 + 2017 · (− 4)]
85 = 2017 − 10000 · 1 + 2017 · 4
85 = 10000 · (− 1) + 2017 · (1 + 4)
85 = 10000 · (− 1) + 2017 · 5 (iii)

• 1932 e 85:

1932 = 85 · 22 + 62
10000 · 1 + 2017 · (− 4) = [10000 · (− 1) + 2017 · 5] · 22 + 62
10000 · 1 + 2017 · (− 4) = 10000 · (− 22) + 2017 · 110 + 62

⇒ 62 = 10000 · 1 + 2017 · (− 4) − [10000 · (− 22) + 2017 · 110]
62 = 10000 · 1 + 2017 · (− 4) + 10000 · 22 − 2017 · 110
62 = 10000 · (1 + 22) + 2017 · (− 4 − 110)
62 = 10000 · 23 + 2017 · (− 114) (iv)

• 85 e 62:

85 = 62 · 1 + 23
10000 · (− 1) + 2017 · 5 = [10000 · 23 + 2017 · (− 114)] · 1 + 23
10000 · (− 1) + 2017 · 5 = 10000 · 23 + 2017 · (− 114) + 23

⇒ 23 = 10000 · (− 1) + 2017 · 5 − [10000 · 23 + 2017 · (− 114)]
23 = 10000 · (− 1) + 2017 · 5 − 10000 · 23 + 2017 · 114
23 = 10000 · (− 1 − 23) + 2017 · (5 + 114)
23 = 10000 · (− 24) + 2017 · 119 (v)

• 62 e 23:

62 = 23 · 2 + 16
10000 · 23 + 2017 · (− 114) = [10000 · (− 24) + 2017 · 119] · 2 + 16
10000 · 23 + 2017 · (− 114) = 10000 · (− 48) + 2017 · 238 + 16

⇒ 16 = 10000 · 23 + 2017 · (− 114) − [10000 · (− 48) + 2017 · 238]
16 = 10000 · 23 + 2017 · (− 114) + 10000 · 48 − 2017 · 238
16 = 10000 · (23 + 48) + 2017 · (− 114 − 238)
16 = 10000 · 71 + 2017 · (− 352) (vi)

• 23 e 16:

23 = 16 · 1 + 7
10000 · (− 24) + 2017 · 119 = [10000 · 71 + 2017 · (− 352)] · 1 + 7
10000 · (− 24) + 2017 · 119 = 10000 · 71 + 2017 · (− 352) + 7

⇒ 7 = 10000 · (− 24) + 2017 · 119 − [10000 · 71 + 2017 · (− 352)]
7 = 10000 · (− 24) + 2017 · 119 − 10000 · 71 + 2017 · 352
7 = 10000 · (− 24 − 71) + 2017 · (119 + 352)
7 = 10000 · (− 95) + 2017 · 471 (vii)

• 16 e 7:

16 = 7 · 2 + 2
10000 · 71 + 2017 · (− 352) = [10000 · (− 95) + 2017 · 471] · 2 + 2
10000 · 71 + 2017 · (− 352) = 10000 · (− 190) + 2017 · 942 + 2

⇒ 2 = 10000 · 71 + 2017 · (− 352) − [ 10000 · (− 190) + 2017 · 942]
2 = 10000 · 71 + 2017 · (− 352) + 10000 · 190 + 2017 · (− 942)
2 = 10000 · (71 + 190) + 2017 · (− 352 − 942)
2 = 10000 · 261 + 2017 · (− 1294) (viii)

• 7 e 2:

7 = 2 · 3 + 1
10000 · (− 95) + 2017 · 471 = [10000 · 261 + 2017 · (− 1294)] · 3 + 1
10000 · (− 95) + 2017 · 471 = 10000 · 783 + 2017 · (− 3882) + 1

⇒ 1 = 10000 · (− 95) + 2017 · 471 − [ 10000 · 783 + 2017 · (− 3882)]
1 = 10000 · (− 95) + 2017 · 471 + 10000 · (− 783) + 2017 · 3882
1 = 10000 · (− 95 − 783) + 2017 · (471 + 3882)
1 = 10000 · (− 878) + 2017 · 4353

Some e subtraia 10000 · 2017 ao lado direito da igualdade acima:

1 = 10000 · (− 878) + 10000 · 2017 − 10000 · 2017 + 2017 · 4353
1 = 10000 · (− 878 + 2017) + 2017 · ( − 10000 + 4353)
1 = 10000 · 1139 + 2017 · (− 5647)

Então,

10000 · 1139 − 1 = 2017 · 5647

Basta somarmos 2017 a ambos os lados, e temos

10000 · 1139 − 1 + 2017 = 2017 · 5647 + 2017
10000 · 1139 + 2016 = 2017 · (5647 + 1)
10000 · 1139 + 2016 = 2017 · 5648 (ix)

Então, vemos que existe solução para a equação (i). Uma das soluções é

x = 1139 e y = 5648

como queríamos demonstrar.

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Observação: Convém lembrar que o par

(x, y) = (1139, 5648)

não é a única solução da equação (i).

De fato, se somarmos um múltiplo natural qualquer de 10000 · 2017 aos dois lados de (ix), obtemos:

10000 · 1139 + k · 10000 · 2017 + 2016 = 2017 · 5648 + k · 10000 · 2017

Colocando 10000 em evidência no lado esquerdo, e 2017 em evidência no lado direito, a igualdade acima fica

10000 · (1139 + 2017k) + 2016 = 2017 · (5648 + 10000k)

onde k pode variar no conjunto dos naturais, e assim obtém-se outras soluções para este problema.

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Bons estudos! :-)