Question

Mostre que aplicação de f: Z em Z, dada por f(a) = 3a é um homomorfismo de grupo. Calcule seu núcleo.

Answer 1

Utilizando definição de nucleo de transformação, temos que o nucleo desta transformação é dado pelo elemento 0 somente, ou seja: N = {0}.

Explicação passo-a-passo:

Um homomorfismo pode ser definido, de forma extremamente simplificada, como uma transformação que leva de um espaço a outro sendo possível criar uma transformação inversa sem que se perca informações iniciais.

O nucleo de uma transformação seria o elemento neutro desta transformação, ou seja, que permanece o mesmo antes e depois da transformação, ou seja, queremos saber quando temos que:

f(a) = a

Assim mesmo depois de transformado "a" permanece o mesmo. Neste caso vamos substituir nossa transformação:

f(a) = a

3a = a

Assim temos que esta equação só é verdadeira quando a = 0. Assim o nucleo desta transformação é dado pelo elemento 0 somente, ou seja: N = {0}.

Answer 2

É dada a aplicação $\mathsf{f \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$ definida por $\mathsf{f(a)=3a.}$ Pede-se para mostrar que tal aplicação é um homomorfismo e para determinar seu núcleo.

Demonstração:

Deve-se provar que para quaisquer $\mathsf{x, y \in \mathbb{Z}}$ tem-se: $\mathsf{f(x + y) = f(x) + f(y)}$ Note que está pressuposto na pergunta que o grupo a ser considerado é o conjunto dos números inteiros munido da adição usual.

Para quaisquer $\mathsf{x, y \in \mathbb{Z},}$ temos:

$\mathsf{f(x+y)= 3(x+y) = 3x+3y= f(x)+f(y)}$

Portanto, a aplicação dada é um homomorfismo de grupos.

Núcleo do homomorfismo:

O núcleo de um homomorfismo $\mathsf{f \colon G \rightarrow J}$  cujo elemento neutro de $\mathsf{J}$ é $\mathsf{u}$ é definido como o seguinte conjunto:

$\mathsf{N(f)= \{x \in G; f(x) = u\}}$

Para o homomorfismo $\mathsf{f \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$ tal que $\mathsf{f(a)=3a}$, tem-se que elemento neutro do grupo $\mathsf{(\mathbb{Z}, +)}$ é o zero.

Dessa forma:

$\mathsf{N(f)= \{ x \in \mathbb{Z}; f(x) = 0 \} = \{ x \in \mathbb{Z}; 3x= 0 \} = \{ x \in \mathbb{Z}; x =0 \} = \{ 0 \} }$

Então o núcleo do homomorfismo é  $\mathsf{N(f)= \{0\} }$