Question

Mostre que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a
matriz nula.

Answer 1

Olá.

Matriz nula é uma matriz em que todos os elementos valem zero. Não importa a ordem, pode ser uma matriz 2x3,5x2,2x2,etc...

Matriz Simétrica é uma matriz em que a sua matriz normal é igual a sua transposta.

Matriz transposta é uma matriz em que se troca linhas por coluna e vice-versa.


Dada a Matriz 2x2 que chamaremos de A.

$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Então a Matriz simétrica é:

$A=A^{ t }\\ \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Ou seja, não mudou nada.

A mesma coisa acontece com a Matriz antissimétrica.

Matriz antissimétrica é uma Matriz em que sua oposta é igual a sua transposta.

Matriz oposta é uma Matriz em que todos os elementos da Matriz normal tem seu sinal trocado, e como o 0 é nulo, não muda nada.

$-A=A^{ t }\\ \\ \begin{bmatrix} -0 & -0 \\ -0 & -0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$


Ou seja, a única Matriz simétrica e antissimétrica é a Matriz nula.