Question

Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 9

Answer 1

sejam os 3 números

1 , 2 e 3     consecutivos

1³ + 2³ + 3³ =  1 + 8 + 27 = 36  divisivel por 9 ****

seja

2, 3 e 4

2³ + 3³ + 4³   = 8 + 27  + 64 = 99   divisivel por 9 ****

seja

3, 4 e 5

3³  + 4³ + 5³ =  27 + 64 + 125 = 216 divisivel por 9 ****

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

(x)³ + (x+1 )³+ (x +2)³ =

(x³) + (x³ + 3x² + 3x+1) + (x³ +6x²+12x+8) =

3x³ + 9x²+15x+9 =

3(x³ + 3x² + 5x+3)

-1 é raiz do polinônio p(x) = x³ + 3x² + 5x+3

Logo podemos dizer que x³ + 3x² + 5x+3 = (x+1)(x²+2x+3)

Assim, podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3) = 3(x+1)(x²+2x+3)  

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)=3(x+1)(x²+2x+3)  

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)=3(x+1)(x²+2x + 1 - 1+3)  

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)=3(x+1)[(x+1)²+2)]  

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)= 3(x+1)³+6(x+1)

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)= 3(x+1)³+2.3(x+1)

Podemos dizer também que 3(x³ + 3x² + 5x+3)= 3(x+1)(x+1)²+2.3(x+1)

De 3 números consecutivas um deles é sempre divisível por 3. Digamos que seja x+1. Sendo assim 3(x+1)(x+1)²+2.3(x+1) é divisível por 9 pois qualquer número múltiplo de 3, que no caso é x+1, multiplicado por 3 gera um número múltiplo de 9; e ainda, quaisquer dois números múltiplos de 9 somados geram sempre um número múltiplo de 9.