Question

Mostre que a regra do divisor de tensão para 4 resistores em paralelo pode ser expressa como:​

Answer 1

Primeiramente vamos encontrar a resistência resultante dos 4 resistores usando a formula de resistencia em paralelo:

$\frac{1}{R_{res}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}$

Tirando MMC para podermos fazer esta soma:

$\frac{1}{R_{res}}=\frac{R_2R_3R_4}{R_1R_2R_3R_4}+\frac{R_1R_3R_4}{R_1R_2R_3R_4}+\frac{R_1R_2R_4}{R_1R_2R_3R_4}+\frac{R_1R_2R_3}{R_1R_2R_3R_4}$

$\frac{1}{R_{res}}=\frac{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}{R_1R_2R_3R_4}$

Invertendo os dois lados:

$R_{res}=\frac{R_1R_2R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}$

Agora que temos a resistencia resultante, podemos encontrar a força eletromotriz do circuito de corrente I:

$\epsilon=R_{res}.I$

$\epsilon=\frac{R_1R_2R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$

Agora podemos encontrar facilmente a corrente que passa por cada resistencia, sendo dada por:

$I_i=\frac{\epsilon}{R_i}$

Substituindo nossos valores, teremos:

$I_1=\frac{\frac{R_1R_2R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I}{R_1}$

Cortando o R1 de cima com o de baixo:

$I_1=\frac{R_2R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$

E assim repetindo este mesmo processo para todos os outros resistores, temos que:

$I_1=\frac{R_2R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$

$I_2=\frac{R_1R_3R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$

$I_3=\frac{R_1R_2R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$

$I_4=\frac{R_1R_2R_3}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R_3}.I$