Question

Mostre que a razao minima entre cations e anions para um numero de cordenação de 6 é0,414 use a estrutura cristalina do NaCl e suponha q os anions e cations se tocam ao longo das arestas do cubo e atraves das diagonais das faces

Answer 1

0,255, agora vamos entender como chegamos nessa resposta.

Temos um tetraedro e precisamos obter sua altura "h":

$dcos(30)=\frac{a}{2}\\d=\frac{a}{2} \frac{2}{\sqrt{3} }\\d=\frac{a}{\sqrt[2]{3} }$

Aplicando Pitágoras temos:  

$h^2=a^2-d^2$

substituindo "d" temos:

$h^2=a^2-\frac{a^2}{\sqrt{3} } \\h=a\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{3} } }\\h=a\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1 }{\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } } } \\h=a\sqrt{\frac{3-1}{3} }\\h=\frac{\sqrt{6} }{3} a$

Estamos atrás da relação entre as arestas de um tetraedro (2r), com uma vertical desde o vértice até o centro (R+r).

Temos que R é o raio do cátion e r é o raio do ânion.

Precisamos obter o comprimento de DO ou CO, relacionando com CO.

$CE cos(30)=\frac{a}{2} \\CE=\frac{a}{\sqrt{3} }$

Temos um triangulo:

$x^2=(h-x)^2+\frac{a^2}{3} \\x^2=h^2-2hx+x^2+\frac{a^2}{3}\\2hx=h^2+\frac{a^2}{3}\\x=(h^2+\frac{a^2}{3}).\frac{1}{2h}$

Tínhamos achado já "h", logo substituirmos:

$h=\frac{\sqrt{6} }{3} a$

$x=(\frac{6}{9}a^2+\frac{a^2}{3} ).\frac{3}{2a\sqrt{6} } </p><p>=(\frac{2}{3}+\frac{1}{3} ) .\frac{3}{2\sqrt{6} } .a=\frac{3\sqrt{6} }{2.6} a\\\\\\x=\frac{\sqrt{6} }{4}a$

sendo a=2R

e$R+r=\frac{\sqrt{6} }{4}.2R$

Fazendo temos:

$R(1-\frac{\sqrt{6} }{2} )=-r\\\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{6} }{2}-1=0,255$

Espero ter ajudado, bons estudos!