Mostre que a proposição é uma Tautologia.
(p ⇒ q) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ q)
Soluções para a tarefa
Utilizando o método da redução ao absurdo, provaremos a tautologia.
(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ r) ⇒ q)
Primeiro, vamos escrever na forma de condicional.
Proposição H: (p -> q) -> (p ∧ r) -> q)
O conectivo condicional (->) contém quatro casos:
V -> V >> V
F -> V >> V
F -> F >> V
V -> F >> F
Para que a proposição H seja uma tautologia, o condicional ( -> ) deve ser sempre verdadeiro (o que faz ela virar uma implicação).
Caso o lado esquerdo (p -> q) seja V e o lado direito ((p ∧ r) -> q) seja F, teremos V -> F >> F, o que impossibilitaria ser uma implicação (=>), pois implicação é uma tautologia e esse caso deu F.
Assim, para provar que a proposição H é uma tautologia, podemos provar que ela não é uma contingência, isto é, que ela não contém casos V e F misturados.
Supondo inicialmente que o lado esquerdo seja V, então nada sabemos sobre p e q. No entanto, se o lado direito for F, então sabemos que:
(p ∧ r) -> q >> F
(p ∧ r) é V ; q é F
Logo, se (p ∧ r) é V, então p e r são V (V ∧ V >> V).
p: V
q: F
Isso entra em uma contradição, já que supomos inicialmente (p -> q) ser V, porém, como p é V e q é F, então p -> q será V -> F >> F.
Portanto, está provado que a proposição H é sempre V, ou seja, uma tautologia.