Question

Mostre que a média aritmética de 2sen2°, 4sen4°, 6sen6°,..., 180sen180° é cotg1°

Answer 1

Antes precisamos lembrar de três identidades:

1- senθ = cos(90°-θ)
2- sen(2θ) = 2senθ.cosθ
3- $\cos x-\cos y = 2sen\left(\frac{x+y}{2}\right).sen\left(\frac{y-x}{2}\right)$

E também é preciso saber essa identidade:

$\boxed{sen\theta+sen(2\theta)+sen(3\theta)+\ldots+sen(m\theta)=\frac{sen(\frac{m\theta}{2}).sen(\frac{(m+1)\theta}{2})}{sen\frac{\theta}{2}}}$

Essa identidade é a parte complicada da resolução do exercício. Pode-se encontrá-la usando o fato que $\cos\theta+i\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=e^{i\theta}$, a fórmula da soma da PG e tomando a parte imaginária dessa soma. Fazendo isso, e usando vários artifícios, sendo que um deles será usado nessa resolução, se encontra a identidade acima.


Agora que temos tudo vamos resolver a questão. Usando a fórmula 2 temos que:

2sen2° = 4sen1°.cos1°
4sen4° = 8sen2°.cos2°
...
88sen88° = 176sen44°.cos44°
90sen90° = 90
92sen92° = 184sen46°.cos46°
...
176sen176° = 352sen88°.cos88°
178sen178° = 356sen89°.cos89°
180sen180° = 0

Usando a identidade 1 podemos reescrever a soma acima, de 90 termos, como:

360sen1°.cos1° + 360sen2°.cos2° + ... + 360sen44°.cos44° + 90

Então, tirando a média, que será representada por M, temos que:

$M = \frac{180(2sen1\°.\cos1\°+\ldots+2sen44\°.\cos44\°)+90}{90}\\ \\ M=2(sen2\° + sen4\° + \ldots+sen88\°)+1$

Agora vem a parte complicada: usaremos a quarta identidade, a da soma... No nosso caso teremos que m=44, daí a soma entre parênteses no passo anterior fica:

$sen2\° + sen(2.2\°) + \ldots+sen(44.2\°)=\frac{sen(\frac{44.2\°}{2}).sen(\frac{(44+1).2\°}{2})}{sen\frac{2\°}{2}}\\ \\ sen2\° + sen4\° + \ldots+sen88\° =\frac{sen44\°.sen45\°}{sen1\°}$

Substituindo na expressão de M teremos:

$M=2(sen2\° + sen4\° + \ldots+sen88\°)+1\\ \\ M= 2.\frac{sen44\°.sen45\°}{sen1\°}+1$

Agora usaremos a identidade 3. Note que 2sen44°.sen45° = cos1° - cos89°. Substituindo isso, mais uma vez, em M teremos:

$M=\frac{\cos1\°-\cos89\°}{sen1\°}+1\Rightarrow M=\frac{\cos1\°-\cos89\°+sen1\°}{sen1\°}$

Por fim, note que cos89° = sen1°, por causa da identidade 1, daí o numerador de M se reduz apenas a cos1°. Pela definição de cotangente temos, por fim, que:

$\boxed{\boxed{\therefore M=\mathrm{cotg}\hspace{0,2mm}1\°}}$