Question

Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que a semi-soma dos
catetos.

Answer 1

Chamemos "a" a hipotenusa e "b" e "c" os catetos. Se o ângulo entre a hipotenusa e um dos catetos for Ф, temos as seguintes relações:

senФ = b/a ⇒ b = a.senФ
cosФ = c/a ⇒ c = a.cosФ

Assim, a semissoma dos catetos será:

(b + c)/2 = (a.senФ + a.cosФ)/2
(b + c)/2 = (senФ + cosФ).a/2

Como para qualquer valor de Ф podemos afirmar que:

senФ < 1
cosФ < 1

Então:

senФ + cosФ < 1 + 1
senФ + cosФ < 2

Portanto:

(b + c)/2 = (senФ + cosФ).a/2 < 2.(a/2)
(b + c)/2 < 2.(a/2)
(b + c)/2 < a
a > (b + c)/2

c.q.d.

Answer 2

Resposta:

Se o maior ângulo é oposto ao maior lado então, ao considerarmos A a hipotenusa e B e C os outros catetos temos que A>B e A>C.

Explicação passo-a-passo:

 A>C

 A>B  

Ao somarmos temos que

2A>B+C

A>B/2+C/2