Question

Mostre que a função f(x)=xe^(-x) satisfaz a equação xf^' (x)=(1-x)f(x).

Answer 1

$f(x)=x\,e^{-x}$

Derivando $f$ pela Regra do Produto,

$f'(x)=(x)'\cdot e^{-x}+x\cdot (e^{-x})'\\\\ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})\\\\ f'(x)=e^{-x}-x\,e^{-x}\\\\ f'(x)=(1-x)\,e^{-x}$


Multiplicando os dois lados da equação acima por $x,$

$x\,f'(x)=x\,(1-x)\,e^{-x}\\\\ x\,f'(x)=(1-x)\cdot (x\,e^{-x})\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x\,f'(x)=(1-x)\,f(x) \end{array}}$

como queríamos demonstrar.