Question

Mostre que a função

f(x) = cos(2x) + sen(√3 x)

não é periódica.

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Favor responder passo a passo, de forma detalhada, clara e completa.

Answer 1

Para que a soma das funções trigonométricas seja periódica, é necessário que o cruzamento das funções ocorra em uma certa altura h por pelo menos 2 vezes.

Esses 2 encontros consecutivos são separados por um certo período caso a soma das funções seja periódica e se isto ocorrer, não serão apenas 2 encontros, mas infinitos, devido a periodicidade do evento.

Vamos definir essa altura h como 0 (Eixo x) para facilitar o entendimento.

Os encontros da primeira função com o eixo x é dado por:

$\frac{\pi}{4}+a\pi\ \ \ (a\in \mathbb{Z})$   (a é o período)

E da segunda função:

$b*\frac{2\pi*\sqrt{3}}{3}\ \ \ \ \ (b\in\mathbb{Z}})$

Igualando os pontos de encontro, temos:

$\frac{\pi}{4}+a\pi\ = b*\frac{2\pi*\sqrt{3}}{3}$

$a+ \frac{1}{4} = b*\frac{2\pi*\sqrt{3}}{3}$

a e b devem ser inteiros, assim o segundo membro da equação com certeza é um número irracional. Dessa forma não há nenhum a inteiro que somado a 1/4 dê um número racional.

Mesmo se considerarmos um deslocamento de pi/4 à esquerda, o par ordenado (0;0) pode ser levado em conta, porém não haverá nenhum outro par ordenado (a;b) que satisfará a nova equação.

Resumindo: Nunca haverá o encontro deles simultaneamente em uma altura h, pois não há o chamado período comum, que é o próprio período da função dada no enunciado. O período comum é calculado pelo "mínimo múltiplo comum" entre os períodos, ou seja um determinado a e b inteiros que multiplicados pelos respectivos períodos, igualam-os. Isso é impossível de acontecer com um período racional e outro irracional, pois não há nenhum inteiro a que multiplicado por 1 dê o número $\frac{\sqrt{3}}{3}$. multiplicado por qualquer inteiro b.