Question

Mostre que a função f(x) abaixo possui três raízes reais. (Use o Teor do Valor Intermediário).

Answer 1

Observe que

f(-1) = -6 - 8 + 3  + 4 = -7

f(0) = 4

f(1) = 6 - 8 - 3 + 4 = -1

f(2) = 48 - 32 - 6 + 4 = 14

Sabendo que f é contínua (pois é um polinômio), como f(-1) < 0 < f(0),  pelo Teorema do Valor Intermediário, existe a em [-1, 0] tal que f(a) = 0. Analogamente, como f(0) > 0 > f(1), existe b em [0, 1] tal que f(b) = 0, e como f(1) < 0 < f(2), existe c em [1, 2] tal que f(c) = 0. Logo, f admite três raízes reais; a, b e c.

Um adendo: é possível provar que f admite três raízes reais sem usar o Teorema do Valor Intermediário, pois 6x³ - 8x²  - 3x + 4 = (3x - 4)(2x² - 1).