Question

mostre que a equação (x-y).dx+(x+y).dy=0 é homogenea

Answer 1

Lembrei como fazer:

Para a equação ser homogênea ela pode ser multiplicada por um fator e continuar "a mesma"

$(x-y)*dx+(x+y)*dy=0$

Isolando dy

$dy=\frac{(y-x)}{(y+x)}*dx$

$\frac{dy}{dx}=\frac{(y-x)}{(y+x)}$

agora nossa função é:

$f(x,y)=\frac{(y-x)}{(y+x)}$

Vamos escolher como um valor para multiplicar $\lambda=\frac{1}{x}$

dai ficamos com

$f\left(1,\frac{y}{x}\right)=\frac{\left(\frac{y}{x}-1\right)}{\left(\frac{y}{x}+1\right)}$

Agora trocando de variável

$\frac{y}{x}=a$

$y=ax$

$\frac{dy}{dx}=x*\frac{da}{dx}+a$

Agora voltando para a função inicial, e trocando tudo.

$x*\frac{da}{dx}+a=\frac{\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)}$

$x*\frac{da}{dx}=\frac{\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)}-a$

$x*\frac{da}{dx}=-\frac{\left(a^2+1\right)}{\left(a+1\right)}$

Isola tudo o que tem a de um lado e o que tem x do outro lado

$\frac{dx}{x}=-\frac{\left(a+1\right)}{\left(a^2+1\right)}*da$

integrando dos dois lados

$\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{\left(a+1\right)}{\left(a^2+1\right)}*da$

$\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{a}{\left(a^2+1\right)}-\frac{1}{\left(a^2+1\right)}*da$

Dai temos

$ln|x|=-ln|a^2+1|-arctan(a)$

voltando para x e y

$\maltese~ln|x|+ln|\left(\frac{y}{x}\right)^2+1|+arctan\left(\frac{y}{x}\right)+K=0~\maltese$

Essa é uma das soluções da EQDO