Question

mostre que a equação tan (x) = 2x tem pelo menos uma solução real.

ALGUEM ME SOCORRE PFV​

Answer 1

Questão sobre teorema do anulamento e funções contínuas

Temos a seguinte equação

$tan(x)=2x\\\\\\\Rightarrow tan(x)-2x=0$

Tome a seguinte função $f(x)=tan(x)-2x$

Utilizando o teorema do anulamento, que é enunciado da seguinte forma

• Teorema do anulamento

Se f for contínua em $[a,b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ tiverem sinais contrários, então existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=0$

Ou seja, por meio desse teorema podemos garantir que a função f tem pelo menos uma raiz em $[a,b]$

Logo, basta tomarmos dois valores para x tais que f tenha sinais contrários, note que se $x=\dfrac{\pi}{4}$ , então:

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-2\cdot\dfrac{\pi}{4}\\\\\\\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-2\pi<0$

Se $x=\dfrac{-\pi}{4}$

$f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\\\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1+2\pi>0$

E também temos que f é contínua em $\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$ (verificar graficamente). Portanto, por meio do teorema do anulamento, existe $c\in \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$ tal que $f(c)=0$, logo f possui pelo menos uma solução real.

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