Question

Mostre que a equação é homogênea e ache a solução respectiva
Dy/dx = 4y-3x/2x-y

Answer 1

Uma equação diferencial ordinária

$\dfrac{dy}{dx}=F(x,\,y)$


é dita homogênea, se para todo $t\neq 0,$ $F(tx,\,ty)=F(x,\,y).$


$\bullet\;\;$ Na equação diferencial dada

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y-3x}{2x-y}$


temos $F(x,\,y)=\dfrac{4y-3x}{2x-y}.$


Tomemos um $t\neq 0$ qualquer. Segue que

$F(tx,\,ty)=\dfrac{4ty-3tx}{2tx-ty}\\ \\ \\ F(tx,\,ty)=\dfrac{\diagup\!\!\!\! t\cdot (4y-3x)}{\diagup\!\!\!\! t\cdot (2x-y)}\\ \\ \\ F(tx,\,ty)=\dfrac{4y-3x}{2x-y}=F(x,\,y)$


Logo, a equação diferencial dada é homogênea.


$\bullet\;\;$ Para resolver a equação, uma substituição adequada é encontrar uma função $u=u(x),$ de forma que

$y=u\cdot x\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(u\cdot x)\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}\cdot x+u\cdot \dfrac{dx}{dx}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dx}=x\,\dfrac{du}{dx}+u$


Substituindo na equação diferencial, temos

$x\,\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{4(u\cdot x)-3x}{2x-(u\cdot x)}\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{x\cdot (4u-3)}{x\cdot (2-u)}\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{4u-3}{2-u}\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}=\dfrac{4u-3}{2-u}-u\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}=\dfrac{4u-3-u\,(2-u)}{2-u}\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}=\dfrac{4u-3-2u+u^{2}}{2-u}\\ \\ \\ x\,\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^{2}+2u-3}{2-u}$


A equação acima é de variáveis separáveis:

$\dfrac{2-u}{u^{2}+2u-3}\,du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{2-u}{u^{2}+3u-u-3}\,du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{2-u}{u\,(u+3)-1\,(u+3)}\,du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{2-u}{(u+3)(u-1)}\,du=\dfrac{dx}{x}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Decompondo o lado esquerdo em frações parciais:

$\dfrac{2-u}{(u+3)(u-1)}=\dfrac{A}{u+3}+\dfrac{B}{u-1}\\ \\ \\ \dfrac{2-u}{(u+3)(u-1)}=\dfrac{A\,(u-1)+B\,(u+3)}{(u+3)(u-1)}\\ \\ \\ 2-u=A\,(u-1)+B\,(u+3)\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Fazendo $u=1$ na equação $\mathbf{(ii)}$ acima, obtemos

$2-1=A\cdot 0+B\cdot(1+3)\\ \\ 4B=1\\ \\B=\frac{1}{4}$


Fazendo $u=-3$ na equação $\mathbf{(ii)},$ obtemos

$2-(-3)=A\cdot (-3-1)+B\cdot 0\\ \\ -4A=5\\ \\A=-\frac{5}{4}$


Voltando à equação $\mathbf{(i)},$ temos

$\left(-\dfrac{\frac{5}{4}}{u+3}+\dfrac{\frac{1}{4}}{u-1} \right )\,du=\dfrac{dx}{x}$


Integrando dos dois lados, temos

$-\dfrac{5}{4}\,\mathrm{\ell n}|u+3|+\dfrac{1}{4}\,\mathrm{\ell n}|u-1|=\mathrm{\ell n}|x|+C\\ \\ \\ -\dfrac{5}{4}\,\mathrm{\ell n}|u+3|+\dfrac{1}{4}\,\mathrm{\ell n}|u-1|-\mathrm{\ell n}|x|=C$


Voltando à função original $y=y(x),$ obtemos a solução geral para a equação diferencial dada:

$-\dfrac{5}{4}\,\mathrm{\ell n}\left|\dfrac{y}{x}+3\right|+\dfrac{1}{4}\,\mathrm{\ell n}\left|\dfrac{y}{x}-1\right|-\mathrm{\ell n}|x|=C,\;\;\;\;C\in \mathbb{R}$