Question

Mostre que a equação 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x - 6 = 0 apresenta raízes inteiras.​

Answer 1

Resposta:

Se P(x) = 2x⁴ - 9x³ + 6x² + 11x - 6 possui raízes racionais p/q, então p | a₀=-6 e q | an = 2. Isto é:

p ϵ {±1, ±2, ±3, ±6} e q ϵ {±1, ±2} ---> p/q ϵ {±1, ±2, ±3, ±3/2 , ±6}.

Fazendo a verificação, concluímos que

-1 é raiz ---> p(-1) = 2 + 9 + 6 - 11 - 6 = 0

1 não é raiz ---> p(1) = 2 - 9 + 6 + 11 - 6 = 4 ≠ 0

-2 não é raiz ---> P(-2) = 32 + 72 + 24 - 22 - 6 = 100 ≠ 0

2 é raiz ---> P(2) = 32 - 72 + 24 + 22 - 6 = 78 - 78 = 0

Podemos aplicar Briot- Ruffini e fatorar P(X), reduzindo o seu grau:

-1…|…2…|…-9…|…6…|…11…|…-6…

2….|…2…|…-11..|..17…|…-6….|…0

…...|…2…|… -7...|…3….|…0…..

Q(x) = 2x² - 7x + 3 ---> x' = 3 e x'' = 3/2.

Portanto, P(x) = 2(x + 1)(x - 2)Q(x) ---> P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(2x - 3).

Suas raízes inteiras são x = -1, x = 2 e x = 3.