Question

Mostre que a diferença entre os quadrados de dois inteiros consecutivos é sempre um número ímpar. E a diferença a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos?

Answer 1

Lembrando que a diferença entre um número ímpar e outro par (ou vice-versa) é sempre um número ímpar. 
par - par = par 
ímpar - ímpar = par 
par - ímpar = ímpar 
ímpar - par = ímpar 

Serie de quadrados consecutivos: 
1, 4, 9, 16, 25, 36, etc 

Note que entre dois quadrados consecutivos, se um deles for par o outro certamente será ímpar. Logo, a diferença entre dois quadrados consecutivos é sempre um número ímpar. 

Série de cubos consecutivos: 
1, 8, 27. 64, 125, 216, etc 

E o mesmo acontece com dois cubos consecutivos, Daí, conclui-se que a diferença entre dois cubos consecutivos também será um número ímpar. 

Answer 2

Tomemos "x" e "x + 1" como os números:

(x)² - (x + 1)² =
x² - x² + 2x + 1 =
2x + 1

Para x = 1 (ímpar):

2.(1) + 1 =
2 + 1 = 3 (resultado ímpar)


Para x = 2 (par):

2.(2) + 1 =
4 + 1 = 5 (resultado ímpar)


PROVADO!

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Agora, quanto à diferença entre os cubos:


(x)³ - (x + 1)³ =
x³ - x³ + 3x² + 3x + 1 =
3x² + 3x + 1


Para x = 1 (ímpar):

3.(1)² + 3.(1) + 1 =
3.1 + 3 + 1 =
3 + 3 + 1 = 7 (resultado ímpar)



Para x = 2 (par):

3.(2)² + 3.(2) + 1 =
3.4 + 6 + 1 =
12 + 6 + 1 = 19 (resultado ímpar)


O mesmo ocorre entre a diferença do cubo de dois números inteiros consecutivos: o resultado é sempre um número ímpar.