Question

Mostre que a derivada de y = tg(x) é y’ = sec2(x)

Answer 1

Olá!
Para provarmos que, se y = tg(x) , logo y' = sec²(x), vamos utilizar a Relação Fundamental II que diz:
tg(x) = sen(x)/cos(x) -> Pela Regra do quociente que diz: y' = g'h - gh' / h² , vamos provar. Temos:
g = sen(x)
g' = cos(x)
h = cos(x)
h' = -sen(x) 
Logo, teremos:
y' = cos(x).cos(x) - [-sen(x).sen(x)] / cos²(x)
y' = cos²(x) + sen²(x) / cos²(x) -> Pela Relação Fundamental I, cos²(x)+sen²(x) = 1. Logo:
y' = 1/cos²(x) -> Como 1/cos²(x) = sec²(x), finalmente temos:
y' = sec²(x)

Espero ter ajudado! :)