Question

Mostre que a curva 2e^x +5x³ +3 não tem tangente com inclinação 2?
derive y=(senx)^x

Answer 1

$f(x)=2e^x+5x^3+3x\\\\\boxed{f'(x)=2e^x+15x^2+3}$

para que tenha inclinação 2

$f'(x)=2\\\\\boxed{\booxed{2e^x+15x^2+3=2}}$

observando o comportamento de f'(x)
2e^x ..sempre será maior que 0
15x²..tambem sempre será maior ou igual a 0

quando vc somar esses valores com o 3...o resultado com certeza vai ser maior que 2  ...então f'(x) = 2 não existe...logo a curva não tem tangente com inclinação 2

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$y=sen^x(x)$

reescrevendo como exponencial
$sen^x(x) = e^u\\\\ln(sen^x(x))=ln(e^u)\\\\\boxed{x*ln(sen(x))=u}$

então temos
$y=e^u\\\\y=e^{x*ln(sen(x))}$

derivando
$\boxed{e^u = e^u * u'}$

usando a regra do produto 
para derivar x*ln(senx)

u = x 
u' = 1

v = ln(senx))
v' = 1/sen(x) * cos(x)

a derivada fica

$y' = e^{x*ln(sen(x))} * [1*ln(sen(x)) + x*\frac{cos(x)}{sen(x)} ]\\\\y'=e^{x*ln(sen(x))}*[ln(sen(x))+x*cotg(x)]\\\\\\\boxed{\boxed{y'=sen^x(x)*ln(sen(x))+x*cotg(x)}}$