Question

Mostre que a curva 2e^x +5x³ +3 não tem tangente com inclinação 2?

Derive
f(x)=(x³ +2x)e^x
g(x)raiz de x.e^x

Answer 1

A inclinação da reta tangente à curva é igual a derivada da curva no ponto. True Story.
Então,
Primeiro precisamos derivar a curva $2e^{x}+5x^{3}+3$
$\frac{d(2e^{x}+5x^{3}+3)}{dx}$, Derivando com relação à x.
$\frac{d(2e^{x}}{dx}+\frac{d(5x^{3}}+\frac{d(3)}{dx}$, Derivada da soma
$2\frac{e^{x}}{dx}+5\frac{d(x^{3}}+3\frac{d(1)}{dx}$ Mult. Constante por uma derivada.
$2(e^{x})+5(3x^{2})+3(0)$ Derivada de $e^{x}$ é $e^{x}$ (Que lindio), derivada da potência $\frac{d(x^{m})}{dx}=m*x^{m-1}$ e a derivada de uma constante é zero.
$2e^{x}+15x^{2}$

Como queremos mostrar que não temos tangente à curva com inclinação 2, então, vamos demonstrar por absurdo que $2e^{x}+15x^{2}$ não pode ser 2, ou seja:
$2e^{x}+15x^{2}=2$
$2e^{x}+15x^{2}-2=0$
$2(e^{x}-1)=-15x^{2}$

para qualquer valor de x, então, x^{2} é positivo, ou seja, -15x^{2} sempre  é negativo.

se x=0, então $e^{x}=1$, ou seja, temos o lado esquerdo da igualdade igual a 0. Portanto não podemos afirmar que e^{x}+15x^{2}=2 se x=0.

se x>0, então $e^{x}>1$, ou seja, temos do lado esquerdo da igualdade, maior que 0. Portanto não podemos afirmar que e^{2}+15x^{2}=2 se x>0.

se x<0, então $0<e^{x}<1$
                      Substraindo -1,temos,
                       $0-1<e^{x}-1<1-1$
                       $-1<e^{x}-1<0$
                     Multiplicando por 2
                        $-1(2)<2(e^{x}-1<0(2)$
                        $-2<2(e^{x}-1)<0$
Então, o lado esquerdo da equação está entre -2 e 0.

O lado direito da equação assume valor mínimo quando x=0, ou seja, temos 
0 do lado direito.

Como o lado esquerdo nunca assume valor 0, então o lado direito não vai ser igual ao lado esquerdo.

Logo,
$e^{x}+15x^{2}=2$ Não  é verdade, ou seja,

Como sendo $e^{x}+15x^{2}$ a derivada da curva e sabendo que a derivada da curva é igual a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, temos, que à curva $e^{x}+15x^{2}+3$ não tem reta tangente com inclinação 2.
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Derivando f(x), questão 2.
$\frac{d(f(x))}{dx}$
$\frac{d(e^{x}(x^{3}+2x))}{dx}$
$e^{x}(\frac{d(x^{3}+2x)}{dx})+(x^{3}+2x)\frac{d(e^{x})}{dx}$ Derivada do produto
$e^{x}(\frac{d(x^{3})}{dx}+\frac{d(2x)}{dx})+(x^{3}+2x)e^{x}$ Derivada da soma e derivada de e^x.
$e^{x}(3x^{2}+2)+(x^{3}+2x)e^{x}$ Derivada da potência e mult. por constante
$e^{x}(x^{3}+3x^{2}+2x+2)$
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Derivando g(x), questão 3.
$\frac{d(g(x)}{dx}$
$\frac{d(\sqrt{x}e^{x})}{dx}$
$e^{x}\frac{d(\sqrt{x})}{dx}+\sqrt{x}\frac{d(e^{x})}{dx}$   Derivada do produto
$e^{x}\frac{d(x^{\frac{1}{2}})}{dx}+\sqrt{x}e^{x}$ Derivada de e^x e pelas regras dos expoentes
$e^{x}(\frac{1}{2})x^{\frac{-1}{2}}+\sqrt{x}e^{x}$
$e^{x}(\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}+\sqrt{x})$