Question

Mostre que (a + b) ≡ c (mod m) implica a ≡ (c − b) (mod m

Answer 1

Dizemos que $x\equiv y(mod~m)$ se $m|(x-y)$, ou seja, se $\exists~k\in\mathbb{Z}$ tal que $x-y=k\cdot m$
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$(a+b)\equiv c(mod~m)$

Da definição de congruência, temos que $m|(a+b-c)$

Então, existe k inteiro tal que

$a+b-c=k\cdot m\\\\a-(-b+c)=k\cdot m\\\\a-(c-b)=k\cdot m$

Fazendo $c-b=y$, temos:

$a-y=k\cdot m$

Logo, pela definição de congruência,

$a\equiv y(mod~m)$

Mas $y=c-b$:

$\boxed{\boxed{a\equiv(b-c)(mod~m)}}$
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No geral,

$a\equiv b(mod~m)~\longrightarrow~(a-d)\equiv(b-d)(mod~m)~\forall~d\in\mathbb{Z}$