Question

mostre que |a+b|= |a| + |b| se, e somente se, a e b forem ambos $\geq$ 0 ou ambos $\leq$0.

Answer 1

Mostrar que $|a+b|=|a|+|b|$ se, e somente se, $a$ e $b$ forem ambos não-negativos, ou ambos não-positivos, ou seja,

$|a+b|=|a|+|b|$ se, e somente se, $ab\geq 0:$


$\bullet\;\;$ Ida. Mostrar que

Se $|a+b|=|a|+|b|,$ então $ab\geq 0.$


Partimos do fato de que

$|a+b|=|a|+|b|$


Elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

$\Rightarrow\;\;|a+b|^{2}=(|a|+|b|)^{2}$


Para qualquer $x$ real, vale que $|x|^{2}=x^{2}.$ Utilizando esta propriedade na igualdade acima, temos

$\Rightarrow\;\;(a+b)^{2}=(|a|+|b|)^{2}\\ \\ \Rightarrow\;\;a^{2}+2ab+b^{2}=|a|^{2}+2|a||b|+|b|^{2}\\ \\ \Rightarrow\;\;a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+2|a||b|+b^{2}\\ \\ \Rightarrow\;\;2ab=2|a||b|\\ \\ \Rightarrow\;\;2ab=2|ab|\\ \\ \Rightarrow\;\;ab=|ab|$


Ora, temos que para todo $a,\;b\in\mathbb{R},$

$|ab|\geq 0$


e assim, pela última igualdade, devemos ter

$\Rightarrow\;\;ab \geq 0\;\;\;\square$


Logo, concluímos que $a$ e $b$ são ambos não-negativos, ou ambos não-positivos.


$\bullet\;\;$ Volta: Mostrar que

Se $ab \geq 0,$ então $|a+b|=|a|+|b|.$


Partindo da hipótese de que $ab \geq 0,$ temos dois casos a considerar:


Caso 1. $a\leq 0\;\text{ e }\;b\leq 0:$
 

Uma consequência imediata desse caso é que

$\Rightarrow\;\;a+b\leq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;|a+b|=-(a+b)\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


E pela definição de módulo de um número real, também temos que

$\left\{ \begin{array}{cc} |a|=-a,&\text{pois }a\leq 0\\ |b|=-b,&\text{pois }b\leq 0 \end{array} \right.$


Somando as duas igualdades acima, e utilizando a equação $\mathbf{(i)},$ chegamos a

$\Rightarrow\;\;|a|+|b|=-a-b\\ \\ \Rightarrow\;\;|a|+|b|=-(a+b)\\ \\ \Rightarrow\;\;|a|+|b|=|a+b|\;\;\;\square$


Caso 2. $a\geq 0\;\text{ e }\;b\geq 0:$


De forma análoga ao caso 1, temos

$\Rightarrow\;\;a+b\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;|a+b|=a+b\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


E da definição de módulo de um número real, segue que

$\left\{ \begin{array}{cc} |a|=a,&\text{pois }a\geq 0\\ |b|=b,&\text{pois }b\geq 0 \end{array} \right.$


Somando as duas equações acima, e utilizando a equação $\mathbf{(ii)},$ chegamos a

$|a|+|b|=a+b\\ \\ |a|+|b|=|a+b|\;\;\;\square$


Assim, pela ida e pela volta

$|a+b|=|a|+|b|\;\;\Leftrightarrow\;\;ab\geq 0\;\;\;\;\blacksquare$