Question

Mostre que a área de um quadrilátero de diagonais perpendiculares, que medem a e b, é dada por(a.b)/2. Me ajudem gente.

Answer 1

Sim, a área de um quadrilátero com diagonais perpendiculares

é igual a  $\LARGE \frac{a . b}{2}$

Para esse resultado precisamos saber o que são diagonais perpendiculares em um quadrilátero, e a fórmula da área de um triângulo. Vamos desenhar o quadrilátero, suas diagonais e calcular a área total. Depois disso calculamos as áreas de cada triângulo e verificamos o resultado:

→ Diagonais Perpendiculares são segmentos de reta que unem cada vértice ao vértice oposto e, além disso formam entre elas um ângulo de 90° graus.

Importante → As diagonais de um quadrilátero sempre o dividirão em triângulos.

→ Área do triângulo = $\Large \frac{Base . Altura}{2}$

Agora vamos considerar um quadrilátero, onde seus lados não são todos congruentes, porém com diagonais perpendiculares. Verifique a figura anexa.

Percebemos que as diagonais dividiram nosso quadrilátero em alguns triângulos, porém, podemos considerar apenas os 2 (um em cima e outro em baixo) como mostra a figura.

Como, no nosso caso, as diagonais não são congruente (mesma medida), dividimos seus valores como:

a = a1 + a2

b = b1 + b2

Vamos então calcular as áreas de cada triângulo:

⇒ Triângulo de cima  ⇒   Área Azul =

⇒ Triângulo de baixo ⇒   Área Rosa =  $\Large \frac{a . b2}{2}$

Como a área do quadrilátero equivale à soma das áreas dos dois triângulos, vamos somá-las:

Área Azul + Rosa = $\Large \frac{a . b1}{2}+\frac{a.b2}{2} = \frac{(a.b1)+(a.b2)}{2} = \frac{a.(b1 + b2)}{2}$

Porém b1 + b2 = b, então:

Área total = $\boxed{\Large \frac{a . b}{2} }$   c.q.p.

Observação: Essa demonstração também pode ser feita calculando a área de cada um dos 4 triângulos formados pelas perpendiculares. A soma das 4 áreas também terá o mesmo resultado.

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