Question

Mostre que a área de um quadrilátero com diagonais de medidas 'a' e 'b', que formam ângulo x , é dada por S = ab * sen(x)/2

Answer 1

Inicialmente, sabemos que a área de um quadrilátero é calculada multiplicando seus lados. Como não temos seus valores, vamos chamar de y e z. Então, a área do quadrilátero será: A = y*z.

Uma vez que temos as diagonais e o ângulo entre cada diagonal, podemos escrever y e z em função de a e b.

Primeiramente, vamos imaginar o problema. No cruzamento das diagonais, onde forma-se o ângulo x, forma-se um triângulo, onde os outros dois ângulos são iguais. Esses ângulos serão iguais a: (180 - x)/2.

Então, podemos escrever o seguinte:

y = a * sen [(180 - x)/2].

z = b * sen [90 - (180 - x)/2].

Por fim, calculamos a área:

A = y*z

A = a * sen [(180 - x)/2] * b * sen [90 - (180 - x)/2]

Então, usamos a seguinte relação: sen(a) * sen(b) = 1/2[cos(a-b) - cos(a+b)]

A = a * b * {1/2*[cos ((180 - x)/2 - 90 + (180 - x)/2) - cos ((180 - x)/2 + 90 - (180 - x)/2)

A = a * b * 1/2[cos (90 - x) - cos (90)]

A = a * b * 1/2[sen (x) - 0]

A = a * b * 1/2*sen(x)

Portanto, a área do quadrilátero é: A = a * b * sen(x)/2