Question

Mostre que √5 não é um número Racional.

Answer 1

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante a demonstração matemática que √5 não é um número racional ✅

Número racional

É qualquer número que pode ser escrito como quociente de dois números inteiros com o segundo não - nulo. Representando por a e b tais inteiros então

 $\sf\mathbb{Q}=\dfrac{a}{b},a,b\in\mathbb{Z},b\ne0$

exemplo:

$\sf 3=\dfrac{12}{4}\\\\\sf 0,333\dotsc=\dfrac{1}{3}$

Demonstração por redução ao absurdo

Sejam A e B duas proposições quaisquer. $\sf A\implies B\therefore \neg B\implies\neg A$

✍️Vamos a resolução da questão

Suponha que √5 é um número racional. isto é, $\sf \sqrt{5}=\dfrac{a}{b}\,com\,a,b\in\mathbb{Z},b\ne0$ e suponha mdc (a,b)=1 ou seja uma fração irredutível.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}\\\\\sf(\sqrt{5})^2=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^2\\\\\sf 5=\dfrac{a^2}{b^2}\\\\\sf a^2=5b^2\end{array}}$

note que $\sf a^2$ é impar então a também é impar. então

$\sf a=2k+1~k\in\mathbb{Z}$ daí

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf (2k+1)^2=5b^2\\\sf b^2=\dfrac{(2k+1)^2}{5}\end{array}}$

perceba que $\sf b^2$  é ímpar e divisor de 5 então b também é ímpar e divisor de 5. Absurdo! pois supomos mdc (a,b)=1.

logo $\sf\sqrt{5}$ não é racional $\blacksquare$

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