Question

mostre que 3elevado a n e 3 elevado a n menos 4 termina pelo mesmo algarismo

Answer 1

3^n e 3^(n-1)

Vamos analisar o que está acontecendo:
3^-4 = 1/81 = 0,012345679...
3^-3 = 1/27 = 0,037...
3^-2 = 1/9 = 0,111 ....
3^-1 = 1/3 = 0,333...
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729 
3^7 = 2187
3^8 = 6561

Observe apenas o último algarismo, perceba que ele forma uma sequência:
1,3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7,... <<< essa sequencia se repete sempre (poderíamos até achar o último algarismo de 3^999 com base nisso, por exemplo), perceba que essa sequência só tem 4 termos antes de começar a se repetir, então, a cada 4 termos volta exatamente pro mesmo lugar.

Logo: 3^n = 3^(n - 4) desde que n ≤ 0  ou n ≥ 4, ou ainda:
3^n = 3^(n - k) desde que n ≤ k ou n ≥ 4 + k.  
Bons estudos