Question

Mostre que 2,3,5,7 e 13 sao diivisores de n^13-n

Answer 1

==>1ª Versão Teorema de Fermat  ==> a^p=a(mod p) ..a e p inteiros (p é primo)

implica que a^p-a é divisível por p... proposição (1)

==>2ª Versão do Teorema de Fermat  ==>  a^(p-1) =1 (mod p)

implica que a^(p-1) -1  é divisível por p.. proposição (2)

a) Divisível por  2 (2ª versão)

n¹³-n=n*(n^6+1)*(n³+1)*(n-1)*(n²+n+1)

n-1 ==> n^(2-1)= 1 (mod 2)

b) Divisível por 3 (2ª versão)

n¹³=n*(n^6+1)*(n²-1)*(n^4+n²+1)

n²-1 ==> n^(3-1)= 1 (mod 3)

c) Divisível por 5 (2ª versão)

n¹³-n=n*(n^4-1)*(n^8+n^4+1)

n^4-1 ==>n^(5-1)=1 (mod 5)

d) Divisível por 7 (2ª versão)

n¹³-n=n*(n^6-1)*(n^6+1)

n^6-1 ==>n^(6-1)=1 (mod 7)

e) Divisível por 13 (1ª versão)

n¹³-n ==>n¹³=n (mod 13)

==> C.Q.P.  ( como queríamos provar)

Observe: O  segredo aqui é conhecer o Pequeno Teorema de  

Fermat ( nas duas versões) e desenvolver n¹³-n convenientemente.