Question

mostre quais das retas abaixo são perpendiculares entre si :

r:y=2x+3 
s:x-4y+4=0 
t:x+2y-6=0
u:y=-2x-1

Answer 1

Boa noite.

Para que duas retas sejam perpendiculares, seus coeficientes angulares, se multiplicados, devem totalizarem -1.

Os coeficientes angulares são aqueles que acompanham o "x" numa equação reduzida de uma reta.

Portanto, as equações que não estão de uma forma reduzida, teremos que transforma-las nesta forma para comparar e multiplicar os coeficientes.

$(r) \ \boxed{y = 2x+3} \\\\ coeficiente \ angular \ (m) = 2$

A reta "r" já está na forma reduzida.

$(s) \ x-4y+4=0 \\\\ 4y = x+4 \\\\ y = \frac{1x}{4} + \frac{4}{4} \\\\ \boxed{y = \frac{1x}{4} + 1} \\\\ coeficiente \ angular \ (m) = \frac{1}{4}$

$(t) \ x+2y-6=0 \\\\ 2y = -x+6 \\\\ y = -\frac{1x}{2} + \frac{6}{2} \\\\ \boxed{y = -\frac{1x}{2} + 3} \\\\ coeficiente \ angular \ (m) = -\frac{1}{2}$

$(u) \ y = -2x-1 \\\\ coeficiente \ angular \ (m) = -2$

Tem um macete pra saber qual número devemos multiplicar para dar -1 e saber se é perpendicular. 

O número que devemos multiplicar o coeficiente para ser perpendicular, deve ter o denominador invertido com o denominador com sinal trocado. Vamos aos exemplos:

O coeficiente da reta "r" é 2. Uma reta perpendicular à esta reta, seu coeficiente deve valer -1/2. Ou seja, a reta t vale -1/2. Portanto, as duas são perpendiculares.

$\boxed{Retas \ r \ e \ t \ s\~{a}o \ perpendiculares \ entre \ si}$

Na reta "s", o coeficiente vale 1/4, portanto, uma reta perpendicular a esta deve valer -4. Como nenhuma reta do exercício tem esse coeficiente, eão é perpendicular com nenhuma outra.

A reta "t" já comparamos.

A reta "u", por ter coeficiente -2, deve ser multiplicada por um coeficiente 1/2 para ser perpendicular. Como não há nenhuma reta com esse requisito, ela não é perpendicular a nenhuma.

$\therefore \boxed{\boxed{Apenas \ \underline{r} \ e \ \underline{t} \ s\~{a}o \ perpendiculares}}$