Question

Mostre, por meio de um sistema de equações, que não existem dois números reais cuja soma e produto sejam 1.

Answer 1

$\left \{ {{xy=1} \atop {x+y=1}} \right.$

Da primeira linha temos que: $x= \frac{1}{y}$. Substituindo isso na segunda linha temos:
$\frac{1}{y} +y=1 \\ \\ \frac{1+y^2}{y} =1 \\ \\ 1+y^2=y \\ y^2-y+1=0$

Logo:
Δ=(-1)²-4·1·1=-3

Como as raízes do sistema são calculadas por (-b+√Δ)/2a, e (-b-√Δ)/2a, e √Δ=√-3=i√3, percebemos que o sistema não admite a existência de raízes reais.
Ou seja, não existem dois números reais cuja soma e produto sejam iguais a 1.