Question

mostre por indução a validade da seguinte afirmação: 1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^n-1=1+(n-1)2^n

Answer 1

Resposta:

De fato, a expressão é válida.

Explicação passo a passo:

Vamos, primeiramente, relembrar o que quer dizer método de indução, ok?

Esse método é tido como consequência do 5° axioma de Peano, e o método basicamente diz que: se uma propriedade P, for satisfeita pelo número 1 e pelo sucessor ( $n+1$) de um número $n$ natural, então ela é satisfeita por qualquer número natural. É uma maneira de "varrer" todos os número naturais por essa propriedade. Nesse caso, como temos a expressão dada: $1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+3.2^{2}+...+n\cdot 2^{n-1}=1+(n-1)\cdot 2^{n}$

Verifiquemos primeiro o caso para $n=1$  e de fato é válida pois:

$1\cdot2^{0}=1+(1-1)\cdot2^{1}\\1\cdot 1=1+(0)\cdot2^1\\1=1$

Agora, supondo válido para $n$, vamos verificar para $n+1$:

$1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+3.2^{2}+...+(n+1)\cdot 2^{(n+1)-1}=1+((n+1)-1)\cdot 2^{n+1}$

$1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+3.2^{2}+...+(n+1)\cdot 2^{n}=1+(n)\cdot 2^{n+1}$

vemos, então que realmente é válida.