Question

Mostre, por caminhos diferentes, que os seguintes limites não existem:

Answer 1

m)

primeiro aproximamos da origem pelo eixo x. Ou seja, por pontos da forma (x,0) com x indo a zero. Nesse caso o limite fica:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{0 + 0 + 0}{x^4} = 0$

Por outro lado, ao aproximarmos da origem pelo eixo y, ou seja, pontos da forma (0,y) com y indo a zero, temos:

$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{y^4 + 0 + 0}{y^4} =1$

Assim, o limite não existe, pois a função tende a valores distintos quando aproximamos de (0,0) por caminhos diferentes.

b) nesse item ta faltando alguma informação...

Edit:

Primeiro notamos que se x ≠ y então (x²-y²)/(x-y) = x+y

Logo, o limite que queremos é:

$\displaystyle \lim_{\substack{ (x,y) \to (1,1) \\ x \neq y} } \dfrac{x^2-y^2}{x-y} = \lim_{(x,y ) \to (1,1)} x+y = 2$

A última igualdade é verdade porque toda função polinômial é contínua.