Question

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:
(a) 2.6.10.14 · · ·(4n − 2) = (2n)!/ n! para todo número natural n.

Answer 1

Olá. Temos que provar que 2.6.10.14. ... . (4n-2) = $\frac {(2n)!}{n!}.$.

Sendo n natural, observe que (2n)! = 1.2.3....(2n-1)(2n).

Separando os ímpares dos pares temos que: (2n)! = [2.4.6...2n][1.3.5.7...(2n-1)].

Na parte par, vamos colocar o 2 em evidência (observe que ele está multiplicando todos os números):

(2n)! = [2.2.2...2 n vezes][1.2.3.4...n][1.3.5.7...(2n-1)].

Daí (2n)! = 2ⁿ.n![1.3.5.7...(2n-1)].

Portanto, $\frac {(2n)!}{n!}$ = 2.6.10.14...(4n-2), para todo n natural, como queríamos demonstrar.