Question

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que: 6 × 10 × 14 × · · · × (4n − 2) = (2n)!/ 2n! para todo número natural n ≥ 2.

Answer 1

Por indução primeiramente temos que supor que isto funciona para um valor de n qualquer, então sabemos como suposição que:

$6.10.14.(4n-2)=\frac{(2n)!}{2n!}$

Agora vamos provar que isto funciona para n=2(Note que esta sequência começa em n =2, pois antes disso, o termo geral não funciona). Para n=2, o termo vale 6, então:

$6 = 6$

E utilizando a formula:

$\frac{(2n)!}{2n!}=\frac{(2.2)!}{2.2!}=\frac{24}{4}=6$

Ou seja, a equação que usamos funciona para n=2.

Agora se provarmos que esta mesma equação funciona para n+2, então teremos provado que nossa suposição esta correta:

$6.10.14...(4n-2).(4(n+1)-2).(4(n+2)-2)$

Como estamos supondo que até n esta equação funciona, então podemos substituir ela pelo resultado esperado:

$[6.10.14...(4n-2)].(4(n+1)-2).(4(n+2)-2)$

$\frac{(2n)!}{2n!}.(4(n+1)-2).(4(n+2)-2)$

Agora fazendo um pouco de calculos com os restante dos termos:

$\frac{(2n)!}{2n!}.(4(n+1)-2).(4(n+2)-2)$

$\frac{(2n)!}{2n!}.(4n+4-2).(4n+8-2)$

$\frac{(2n)!}{2n!}.(4n+2).(4n+6)$

$\frac{(2n)!}{2n!}.2(2n+1).2(2n+3)$

Agora vou multiplicar em cima e em baixo por (2n+2).(2n+4):

$\frac{(2n)!}{2n!}.2(2n+1).2(2n+3)$

$\frac{(2n)!}{2n!}.\frac{2(2n+1).(2n+2).2(2n+3).(2n+4)}{(2n+2)(2n+4)}$

$\frac{(2n)!}{2n!}.\frac{4(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{(2n+2)(2n+4)}$

$\frac{(2n)!}{2n!}.\frac{4(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{2(n+1).2(n+2)}$

$\frac{(2n)!}{2n!}.\frac{4(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{4(n+1).(n+2)}$

$\frac{(2n)!}{2n!}.\frac{(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{(n+1).(n+2)}$

Agora vamos juntar  as duas frações:

$\frac{(2n)!(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{2n!(n+1).(n+2)}$

Note que a parte de cima toda junta se torna um fatorial só:

$\frac{(2n)!(2n+1).(2n+2).(2n+3).(2n+4)}{2n!(n+1).(n+2)}$

$\frac{(2n+4)!}{2n!(n+1).(n+2)}$

Da mesma forma embaixo, o n! multiplicando (n+1) e (n+2), viram um só fatorial de (n+2)!:

$\frac{(2n+4)!}{2(n+2)!}$

Colocando 2 em evidência em cima:

$\frac{(2(n+2))!}{2(n+2)!}$

E esta é a mesma expressão que a original porem transladada em 2 para a direita, ou seja, esta expressão também funciona para n+2, logo funciona para qualquer n.