Question

Mostre matematicamente que 5 divide 4^(2n – 1) + 1, para todo n natural, n ≥ 1.

Answer 1

Olá Lukyo.



Mostre matematicamente que 5 divide 4^(2n – 1) + 1, para todo n natural, n ≥ 1.

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Para demonstrar que 5 divide 4^(2n - 1) + 1, irei usar a aritmética modular, mas antes fazer uma pequena introdução de algumas informações importantes da aritmética modular, para que fique claro o entendimento

Aritmética modular tem a seguinte notação

$\mathsf{a\equiv b~(mod~n)}$

Se lê, a é congruente a b mod n, ou seja, a tem o mesmo resto que b na divisão por n

Abaixo um exemplo com números

$\mathsf{12\equiv1~(mod~11)}$

Em matemática, sabemos que um elemento neutro é um valor que não altera o resultado da operação. Em adição e subtração temos o 0, e em multiplicação temos o 1. Já um elemento absorvente, é aquele que combinado com um valor qualquer, resultará no próprio elemento. Em multiplicação temos o 0.

Em aritmética modular, temos que o modulo passa a ser o elemento neutro da adição e subtração, e também passa ser o elemento absorvente da multiplicação

Veja o exemplo abaixo para o elemento neutro

$\mathsf{12\equiv1~(mod~11)}\\\\\mathsf{12+11\equiv1~(mod~11)}\\\\\mathsf{12+0\equiv1~(mod~11)}\\\\\mathsf{12\equiv1~(mod~11)}$

Agora para o elemento absorvente

$\mathsf{12\equiv1~(mod~11)}\\\\\mathsf{12\cdot\boxed{\mathsf{11}}\equiv1\cdot\boxed{\mathsf{11}}~(mod~11)}\\\\\mathsf{0\equiv0~(mod~11)}$

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Vamos igualar a expressão a x

$\mathsf{4^{2n-1}+1}=x$

Onde x é um inteiro.

Aplicando congruência módulo 5

$\mathsf{4^{2n-1}+1\equiv x~(mod~5)}$

Subtraia 5 (elemento neutro), a potência de base 4.

$\mathsf{4^{2n-1}+1\equiv x~(mod~5)}\\\\\\\mathsf{(4-5)^{2n-1}+1\equiv x~(mod~5)}\\\\\\\mathsf{(-1)^{2n-1}+1\equiv x~(mod~5)}$

Note que (-1) está sendo elevado a um expoente ímpar, e em potências elevados a expoentes ímpares, o sinal da base é mantido na operação de potência. E sabendo que 1 elevado a qualquer valor, o resultado continua sendo ele mesmo, teremos:

$\mathsf{(-1)^{2n-1}+1\equiv x~(mod~5)}\\\\\\\mathsf{-1+1\equiv x~(mod~5)\cdo}\\\\\\\mathsf{0\equiv x~(mod~5)}$

Temos que x será congruente a 0 mod 5, que é equivalente a dizer que x deixará resto 0 na divisão por 5. Portanto 5 divide x que é igual a $\mathsf{4^{2n-1}+1}$ .

$\mathsf{x=5k=4^{2n-1}+1}$

Portanto 5 divide $\mathsf{4^{2n-1}+1}$ como queríamos demonstrar



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