Question

Mostre a resolução que a matriz A a seguir satisfaz a equação A² = 2A.

A = 1 1/y
y 1


Gostaria de ver a resolução e entender a pergunta uma vez que A² seria a mesma coisa que 2 vezes A.

Answer 1

$A^2 = A*A\\\\2A = A+A$

como
$\boxed{A= \left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{y} \\y&1\end{array}\right] }$

é uma matrix quadrada 2x2

aplicando o teorema de binet
$A^2 = 2A\\\\det(A^2) = det(2A)$

reescreevendo
$det(A^2) =det(A*A) = det(A)*det(A)$
.
no det(2A) como a matriz é de segunda ordem fica det(2A) = 2².det(A) = 4.det(A)

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

logo vc tem

$(det(A))^2= 4*det(A)\\\\ \boxed{(det(A))^2-4*det(A) = 0}$

é uma equação do segundo grau x²-4x =0
logo x=0 ou x=4  
...então det(A) = 0 ou det(A) = 4 para que A²=2A
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

temos
$det(A)=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{y} \\y&1\end{array}\right] } = 1*1 -( \frac{1}{y}*y) \\\\det(A)= 1-1 = 0$

(isso mostra a solução acima )

logo 
[det(A)]² = 0² = 0

det(2A)= 4*det(A) = 4*0 = 0



outra maneira
$A^2= \left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{y} \\y&1\end{array}\right]* \left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{y} \\y&1\end{array}\right]\\\\\\A^2= \left[\begin{array}{cc}(1*1) +( \frac{1}{y}*y) & (1* \frac{1}{y})+( \frac{1}{y} *1) \\\\(y*1)+(1*y)&(y* \frac{1}{y})+(1*1) \end{array}\right]\\\\\\A^2= \left[\begin{array}{cc}1+1& 2*\frac{1}{y} \\2y&1+1\end{array}\right]\\\\\\ \boxed{\boxed{A^2= \left[\begin{array}{cc}2& \frac{2}{y} \\2y&2\end{array}\right]}}$

a matrix 2A
$2A = 2*\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{y} \\y&1\end{array}\right] }\\\\\\2A=\left[\begin{array}{cc}2& \frac{2}{y} \\2y&2\end{array}\right] }$

como pode ver nesse caso 
A² = 2A